菱形练习题(含答案)文档格式.doc
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3.对角线垂直的平行四边形是菱形;
4.对角线互相垂直平分的四边形是菱形。
四.菱形的面积:
等于两条对角线乘积的一半.(有关菱形问题可转化为直角三角形或等腰三角形的问题来解决.),周长=边长的4倍
复习:
1.如图,在中,是的中点,过点作的平行线交的延长线于,且,连接.
(1)求证:
是的中点;
(2)若,试猜测四边形的形状,并证明.
解答:
(1)证明:
,.∵E是的中点,.
又,..∵,.
(2)解:
四边形是矩形,证明:
∵,,四边形是平行四边形.∵,是的中点,.即.四边形是矩形.B
A
F
C
E
D
菱形例题讲解:
1.已知点D在△ABC的BC边上,DE∥AC交AB于E,DF∥AB交AC于F.若AD平分∠BAC,试判断四边形AEDF的形状,并说明理由.
四边形AEDF是菱形,∵DE∥AC,∠ADE=∠DAF,同理∠DAE=∠FDA,∵AD=DA,
∴△ADE≌△DAF,∴AE=DF;
∵DE∥AC,DF∥AB,∴四边形AEDF是平行四边形,∴∠DAF=∠FDA.∴AF=DF.∴平行四边形AEDF为菱形.
2.已知:
如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,BC=CD,AD⊥BD,E为AB中点,求证:
四边形BCDE是菱形.
证明:
∵AD⊥BD,∴△ABD是Rt△∵E是AB的中点,∴BE=DE,∴∠EDB=∠EBD,
∵CB=CD,∴∠CDB=∠CBD,∵AB∥CD,∴∠EBD=∠CDB,
∴∠EDB=∠EBD=∠CDB=∠CBD,∵BD=BD,∴△EBD≌△CBD(ASA),∴BE=BC,
∴CB=CD=BE=DE,∴菱形BCDE.(四边相等的四边形是菱形)
3.如图,△ABC与△CDE都是等边三角形,点E、F分别在AC、BC上,且EF∥AB,
四边形EFCD是菱形;
(2)设CD=4,求D、F两点间的距离.
∵△ABC与△CDE都是等边三角形,∴ED=CD=CE.∵EF∥AB
∴∠EFC=∠ACB=∠FEC=60°
∴EF=FC=EC∴四边形EFCD是菱形.
连接DF,与CE相交于点G,由CD=4,可知CG=2,
∴∴.
4.如图,平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别相交于点E、F.求证:
四边形AFCE是菱形.
∵AE∥FC.∴∠EAC=∠FCA.又∵∠AOE=∠COF,AO=CO,∴△AOE≌△COF.
∴EO=FO.又EF⊥AC,∴AC是EF的垂直平分线.
∵EF是AC的垂直平分线.∴四边形AFCE为菱形
5.在中,分别为边的中点,连接.
.
(2)若,则四边形是什么特殊四边形?
请证明你的结论.
解:
(1)在平行四边形ABCD中,∠A=∠C,AD=CB,AB=CD.∵E,F分别为AB,CD的中点∴AE=CF,.
(2)若AD⊥BD,则四边形BFDE是菱形.证明:
,是,
且是斜边(或),是的中点,.由题意可且,
四边形是平行四边形,四边形是菱形.
实战演练
1.一菱形周长是20cm,两条对角线的比是4∶3,则这菱形的面积是(B)A.12cm2B.24cm2C.48cm2D.96cm2
2.如图,已知长方形ABCD,AB=3cm,AD=4cm,过对角线BD的中点O做BD的垂直平分线EF,分别交AD、BC于点E、F,则AE的长为_______________.
分析:
连EB,∵EF垂直平分BD,∴ED=EB,设AE=x,则DE=EB=(4-x),AE²
+AB²
=BE²
即:
x²
+3²
=(4-x)²
解得:
x=7/8
3.如图,在菱形ABCD中,AC=8,BD=6,过点O作OH⊥AB,垂足为H,则点O到边AB的距离OH=12/5.
4.如图,菱形ABCD的连长是2㎝,E是AB中点,且DE⊥AB,则菱形ABCD的面积为_________㎝2.
5.如图,在菱形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,OE⊥AB,若∠ADC=130°
,则∠AOE的大小为65°
6.如图,已知四边形ABCD是菱形,∠A=72°
,将它分割成如图所示的四个等腰三角形,那么∠1+∠2+∠3= 90 度.
第6题
第5题
第3题
第2题
第4题
B
7.在菱形ABCD中,已知AB=10,AC=16,那么菱形ABCD的面积为96
8.菱形的一边与两条对角线所构成的两个角的差是32°
,则菱形较小的内角是 58°
.
9.已知菱形ABCD的两条对角线相交于点O,若AB=6,∠BDC=30°
,则菱形的面积为18.
10.在四边形ABCD中,给出四个条件:
①AB=CD,②AD∥BC,③AC⊥BD,④AC平分∠BAD,由其中三个条件推出四边形ABCD是菱形,你认为这三个条件是 ①③④或②③④ .(写四个条件的不给分,只填序号)
11.如图,已知在□ABCD中,AD=2AB,E、F在直线AB上,CE与AD交与点M,DF与CB交与点N,且AE=AB=BF,
求证:
CE⊥DF.
连接MN,∵□ABCD,AB=DC,又∵AB=AE,AE=DCAEMCDM,
M为AD的中点.又∵AD=2AB,CD=DMCDMN是棱形,所以CE⊥DF.
12.如图所示,△ABC中,∠ACB=90°
,∠ABC的平分线BD交AC于点D,CH⊥AB于H,且交BD于点F,DE⊥AB于E,四边形CDEF是菱形吗?
请说明理由.
解:
解法一:
四边形CDEF是菱形.理由:
如图所示,BD平分∠ABC,CD=DE,
因为∠1+∠4=90°
,∠2+∠5=90°
,∠1=∠2,∠3=∠5,∠3=∠4.CF=CD.
CF=DE.因为CFDE.所以四边形CDEF是平行四边形.所以□CDEF是菱形.
13.如图所示,已知△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,过点D作DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F,再过E,F作EG⊥AC,FH⊥AB,垂足分别为G,H,且EG,FH相交于点K,试说明EF和DK之间的关系.
EF与DK互相垂直平分.理由:
因为DE⊥AB,FH⊥AB,DE∥FH.
∵DF⊥AC,EG⊥AC,所以DF∥EG.四边形DEKF是平行四边形.
∵AB=AC,∠B=∠C.又因为BD=CD,∠BED=∠CFD=90°
,
△BDE≌△CDF,DE=DF.DEKF是菱形,EF与DK互相垂直平分.
点拨:
要说明EF与DK互相垂直平分,只要说明四边形DEKF是菱形,要说明四边形DEKF是菱形,可先说明四边形DEKF是平行四边形,再说明一组邻边相等即可.
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