线段的垂直平分线中考题(含答案Word文件下载.doc
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二.解答题(共1小题)
7.(2011•香洲区一模)△ABC是等腰三角形,AB=AC,∠A=36°
(1)利用尺规作B的角平分线BD,交AC于点D;
(保留作图痕迹,不写作法)
(2)判断△DBC是否为等腰三角形,并说明理由.
参考答案与试题解析
,ED垂直平分BC,ED=3.则CE长为 6 .
考点:
线段垂直平分线的性质;
含30度角的直角三角形.菁优网版权所有
分析:
由ED垂直平分BC,即可得BE=CE,∠EDB=90°
,又由直角三角形中30°
角所对的直角边是其斜边的一半,即可求得BE的长,则问题得解.
解答:
解:
∵ED垂直平分BC,
∴BE=CE,∠EDB=90°
,
∵∠B=30°
,ED=3,
∴BE=2DE=6,
∴CE=6.
故答案为:
6.
点评:
此题考查了线段垂直平分线的性质与直角三角形的性质.解题的关键是数形结合思想的应用.
,AB的垂直平分线交AC于点D.若AC=6cm,则AD= 2 cm.
三角形内角和定理;
等腰三角形的性质;
专题:
计算题.
连接BD,根据三角形的内角和定理和等腰三角形性质求出DC=2BD,根据线段垂直平分线的性质求出AD=BD,即可求出答案.
连接BD.
∵AB=BC,∠ABC=120°
∴∠A=∠C=(180°
﹣∠ABC)=30°
∴DC=2BD,
∵AB的垂直平分线是DE,
∴AD=BD,
∴DC=2AD,
∵AC=6,
∴AD=×
6=2,
2.
本题主要考查对等腰三角形的性质,含30度角的直角三角形,线段的垂直平分线,三角形的内角和定理等知识点的理解和掌握,能求出AD=BD和DC=2BD是解此题的关键.
3.如图,等边△DEF的顶点分别在等边△ABC各边上,且DE⊥BC于E,若AB=1,则DB= .
等边三角形的性质;
全等三角形的判定与性质;
勾股定理.菁优网版权所有
由题可证△BED≌△ADF≌△CFE,则AD=BE,由勾股定理得,BE=BD,因为AB=BD+AD=BD+BE=BD+=1,所以BD=.
∵∠DEB=90°
∴∠BDE=90°
﹣60°
=30°
∴∠ADF=180﹣30°
=90°
同理∠EFC=90°
又∵∠A=∠B=∠C,DE=DF=EF
∴△BED≌△ADF≌△CFE
∴AD=BE,
由勾股定理得:
∵BE=
∵AB=BD+AD=BD+BE=BD+=1
∴BD=.
本题利用了:
(1)等边三角形的性质,
(2)勾股定理,(3)全等三角形的判定和性质.
5.如图,在等边三角形ABC的边BC、AC上分别取点D、E,使BD=CE,AD与BE相交于点P.则∠APE的度数为 60 °
全等三角形的判定与性质.菁优网版权所有
根据BD=CE可得CD=AE,即可证明△ACD≌△BAE,得∠CAD=∠ABE,再根据内角和为180°
的性质即可解题.
∵BD=CE,
∴BC﹣BD=AC﹣CE,
即CD=AE,
在△ACD与△BAE中,,
∴△ACD≌△BAE(SAS),
∴∠CAD=∠ABE,
∵∠CAD+∠APE+∠AEB=180°
∠ABE+∠BAE+∠AEB=180°
∴∠APE=∠BAE=60°
60.
本题考查了等边三角形各内角为60°
的性质,考查了全等三角形的证明和全等三角形对应角相等的性质,本题中求证∠APE=∠BAE是解题的关键.
6.如图,D是等边△ABC的AC边上的中点,点E在BC的延长线上,DE=DB,△ABC的周长是9,则∠E= 30 °
,CE= .
等边三角形的性质.菁优网版权所有
综合题.
由△ABC为等边三角形,且BD为边AC的中线,根据“三线合一”得到BD平分∠ABC,而∠ABC为60°
,得到∠DBE为30°
,又因为DE=DB,根据等边对等角得到∠E与∠DBE相等,故∠E也为30°
;
由等边三角形的三边相等且周长为9,求出AC的长为3,且∠ACB为60°
,根据∠ACB为△DCE的外角,根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和,求出∠CDE也为30°
,根据等角对等边得到CD=CE,都等于边长AC的一半,从而求出CE的值.
∵△ABC为等边三角形,D为AC边上的中点,
∴BD为∠ABC的平分线,且∠ABC=60°
即∠DBE=30°
,又DE=DB,
∴∠E=∠DBE=30°
∵等边△ABC的周长为9,∴AC=3,且∠ACB=60°
∴∠CDE=∠ACB﹣∠E=30°
,即∠CDE=∠E,
∴CD=CE=AC=.
30;
此题考查了等边三角形的性质,利用等边三角形的性质可以解决角与边的有关问题,尤其注意等腰三角形“三线合一”性质的运用,及“等角对等边”、“等边对等角”的运用.
7.如图,△ABC中,∠C=90°
,BD平分∠ABC,若AD=8cm,则CD= 4cm .
根据三角形的内角和定理求出∠A=30°
,求出∠ABD=∠CBD=∠A=30°
,求出AD=BD,CD=BD,代入求出即可.
∵∠C=90°
∴∠A=30°
∵BD平分∠CBD,
∴∠CBD=∠ABD=30°
∴CD=BD,∠A=∠ABD,
∴AD=BD=8cm,
∴CD=4cm,
4cm.
本题考查了含30度角的直角三角形,三角形的内角和定理等知识点,关键是求出AD=BD和CD=BD,题目比较典型,难度适中.
8.(2011•香洲区一模)△ABC是等腰三角形,AB=AC,∠A=36°
等腰三角形的判定与性质;
角平分线的性质;
作图—基本作图.菁优网版权所有
作图题;
证明题.
(1)以B为圆心,以任意长为半径画弧交AB、AC于两点,再以这两点为圆心,以大于这两点的距离的一半为半径画弧,交于一点,过这点和B作直线即可;
(2)由∠A=36°
,求出∠C、∠ABC的度数,能求出∠ABD和∠CBD的度数,即可求出∠BDC,根据等角对等边即可推出答案.
(1)解:
如图所示:
(2)解:
△BCD是等腰三角形.
理由如下:
∵AB=AC,∠A=36°
∴∠ABC=∠C=72°
∵BD平分∠ABC,
∴∠DBC=∠ABC=36°
∴∠BDC=∠C=72°
∴BC=BD,
∴△BCD是等腰三角形.
本题主要考查了等腰三角形的性质和判定,三角形的内角和定理,角平分线的性质,作图与基本作图等知识点,解此题的关键是能正确画图和求出∠C、∠BDC的度数.
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