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第20讲平行四边形 158
第21讲菱形与矩形 167
第22讲正方形 179
第23讲 梯 形 189
第24讲数据的分析 198
模拟测试卷
(一) 208
模拟测试卷
(二) 211
模拟测试卷(三) 214
第1讲全等三角形的性质与判定
考点·
方法·
破译
1.能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.全等三角形的形状和大小完全相同;
2.全等三角形性质:
①全等三角形对应边相等,对应角相等;
②全等三角形对应高、角平分线、中线相等;
③全等三角形对应周长相等,面积相等;
3.全等三角形判定方法有:
SAS,ASA,AAS,SSS,对于两个直角三角形全等的判定方法,除上述方法外,还有HL法;
4.证明两个三角形全等的关键,就是证明两个三角形满足判定方法中的三个条件,具体分析步骤是先找出两个三角形中相等的边或角,再根据选定的判定方法,确定还需要证明哪些相等的边或角,再设法对它们进行证明;
5..证明两个三角形全等,根据条件,有时能直接进行证明,有时要证的两个三角形并不全等,这时需要添加辅助线构造全等三角形,构造全等三角形常用的方法有:
平移、翻折、旋转、等倍延长线中线、截取等等.
经典·
考题·
赏析
【例1】如图,AB∥EF∥DC,∠ABC=90°
AB=CD,那么图中有全等三角形()
B
A
C
D
E
F
A.5对 B.4对 C.3对 D.2对
【解法指导】从题设题设条件出发,首先找到比较明显的一对全等三角形,并由此推出结论作为下面有用的条件,从而推出第二对,第三对全等三角形.这种逐步推进的方法常用到.
解:
⑴∵AB∥EF∥DC,∠ABC=90.∴∠DCB=90.
在△ABC和△DCB中
∴△ABC≌∴△DCB(SAS)∴∠A=∠D
⑵在△ABE和△DCE中
∴△ABE≌∴△DCE∴BE=CE
⑶在Rt△EFB和Rt△EFC中
∴Rt△EFB≌Rt△EFC(HL)故选C.
【变式题组】
01.(天津)下列判断中错误的是()
A.有两角和一边对应相等的两个三角形全等
B.有两边和一角对应相等的两个三角形全等
C.有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等
D.有一边对应相等的两个等边三角形全等
02.(丽水)已知命题:
如图,点A、D、B、E在同一条直线上,且AD=BE,∠A=∠FDE,则△ABC≌△DEF.判断这个命题是真命题还是假命题,如果是真命题,请给出证明;
如果是假命题,请添加一个适当条件使它成为真命题,并加以证明.
03.(上海)已知线段AC与BD相交于点O,连接AB、DC,E为OB的中点,F为OC的中点,连接EF(如图所示).
⑴添加条件∠A=∠D,∠OEF=∠OFE,求证:
AB=DC;
O
⑵分别将“∠A=∠D”记为①,“∠OEF=∠OFE”记为②,“AB=DC”记为③,添加①、③,以②为结论构成命题1;
添加条件②、③,以①为结论构成命题2.命题1是______命题,命题2是_______命题(选择“真”或“假”填入空格).
【例2】已知AB=DC,AE=DF,CF=FB.求证:
AF=DE.
【解法指导】想证AF=DE,首先要找出AF和DE所在的三角形.AF在△AFB和△AEF中,而DE在△CDE和△DEF中,因而只需证明△ABF≌△DCE或△AEF≌△DFE即可.然后再根据已知条件找出证明它们全等的条件.
证明:
∵FB=CE∴FB+EF=CE+EF,即BE=CF
在△ABE和△DCF中,
∴△ABE≌△DCF(SSS)∴∠B=∠C
在△ABF和△DCE中, ∴△ABF≌△DCE∴AF=DE
01.如图,AD、BE是锐角△ABC的高,相交于点O,若BO=AC,BC=7,CD=2,则AO的长为()
A.2 B.3 C.4 D.5
第1题图
第2题图
02.如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°
,AE是过A点的一条直线,AE⊥CE于E,BD⊥AE于D,DE=4cm,CE=2cm,则BD=__________.
\
03.(北京)已知:
如图,在△ABC中,∠ACB=90°
,CD⊥AB于点D,点E在AC上,CE=BC,过点E作AC的垂线,交CD的延长线于点F.求证:
AB=FC.
【例3】如图①,△ABC≌△DEF,将△ABC和△DEF的顶点B和顶点E重合,把△DEF绕点B顺时针方向旋转,这时AC与DF相交于点O.
⑴当△DEF旋转至如图②位置,点B(E)、C、D在同一直线上时,∠AFD与∠DCA的数量关系是________________;
⑵当△DEF继续旋转至如图③位置时,⑴中的结论成立吗?
请说明理由_____________.
B(E)
图③
图②
图①
【解法指导】⑴∠AFD=∠DCA
⑵∠AFD=∠DCA理由如下:
由△ABC≌△DEF,∴AB=DE,BC=EF,∠ABC=∠DEF,∠BAC=∠EDF∴∠ABC-∠FBC=∠DEF-∠CBF,∴∠ABF=∠DEC
在△ABF和△DEC中,
∴△ABF≌△DEC∠BAF=∠DEC∴∠BAC-∠BAF=∠EDF-∠EDC,∴∠FAC=∠CDF∵∠AOD=∠FAC+∠AFD=∠CDF+∠DCA
∴∠AFD=∠DCA
01.(绍兴)如图,D、E分别为△ABC的AC、BC边的中点,将此三角形沿DE折叠,使点C落在AB边上的点P处.若∠CDE=48°
,则∠APD等于()
A.42°
B.48°
C.52°
D.58°
02.如图,Rt△ABC沿直角边BC所在的直线向右平移得到△DEF,下列结论中错误的是()
A.△ABC≌△DEF B.∠DEF=90°
C.AC=DF D.EC=CF
P
G
03.一张长方形纸片沿对角线剪开,得到两种三角形纸片,再将这两张三角形纸片摆成如下图形式,使点B、F、C、D在同一条直线上.
⑴求证:
AB⊥ED;
⑵若PB=BC,找出图中与此条件有关的一对全等三角形,并证明.
N
M
【例4】
(第21届江苏竞赛试题)已知,如图,BD、CE分别是△ABC的边AC和AB边上的高,点P在BD的延长线,BP=AC,点Q在CE上,CQ=AB.求证:
⑴AP=AQ;
⑵AP⊥AQ
【解法指导】证明线段或角相等,也就是证线段或角所在的两三角形全等.经观察,证AP=AQ,也就是证△APD和△AQE,或△APB和△QAC全等,由已知条件BP=AC,CQ=AB,应该证△APB≌△QAC,已具备两组边对应相等,于是再证夹角∠1=∠2即可.证AP⊥AQ,即证∠PAQ=90°
,∠PAD+∠QAC=90°
就可以.
2
1
Q
⑴∵BD、CE分别是△ABC的两边上的高,
∴∠BDA=∠CEA=90°
∴∠1+∠BAD=90°
,∠2+∠BAD=90°
,∴∠1=∠2.
在△APB和△QAC中, ∴△APB≌△QAC,
∴AP=AQ
⑵∵△APB≌△QAC,∴∠P=∠CAQ,∴∠P+∠PAD=90°
∵∠CAQ+∠PAD=90°
,∴AP⊥AQ
01.如图,已知AB=AE,∠B=∠E,BA=ED,点F是CD的中点,求证:
AF⊥CD.
02.(湖州市竞赛试题)如图,在一个房间内有一个梯子斜靠在墙上,梯子顶端距地面的垂直距离MA为am,此时梯子的倾斜角为75°
,如果梯子底端不动,顶端靠在对面的墙上,此时梯子顶端距地面的垂直距离NB为bm,梯子倾斜角为45°
,这间房子的宽度是()
A. B. C.bm D.am
75°
45°
第3题图
03.如图,已知五边形ABCDE中,∠ABC=∠AED=90°
,AB=CD=AE=BC+DE=2,则五边形ABCDE的面积为__________
演练巩固·
反馈提高
01.(海南)已知图中的两个三角形全等,则∠α度数是()
A.72°
B.60°
C.58°
D.50°
A/
B/
a
α
c
50°
b
72°
58°
02.如图,△ACB≌△A/C/B/,∠BCB/=30°
,则∠ACA/的度数是()
A.20°
B.30°
C.35°
D.40°
03.(牡丹江)尺规作图作∠AOB的平分线方法如下:
以O为圆心,任意长为半径画弧交OA、OB于C、D,再分别以点C、D为圆心,以大于长为半径画弧,两弧交于点P,作射线OP,由作法得△OCP≌△ODP的根据是()
A.SAS B.ASA C.AAS D.SSS
04.(江西)如图,已知AB=AD,那么添加下列一个条件后,仍无法判定△ABC≌△ADC的是()
A.CB=CD B.∠BAC=∠DAC
C.∠BCA=∠DCA D.∠B=∠D=90°
第5题图
第4题图
第6题图
05.有两块不同大小的等腰直角三角板△ABC和△BDE,将它们的一个锐角顶点放在一起,将它们的一个锐角顶点放在一起,如图,当A、B、D不在一条直线上时,下面的结论不正确的是()
A.△ABE≌△CBDB.∠ABE=∠CBD
C.∠ABC=∠EBD=45°
D.AC∥BE
06.如图,△ABC和共顶点A,AB=AE,∠1=∠2,∠B=∠E.BC交AD于M,DE交AC于N,小华说:
“一定有△ABC≌△AED.”小明说:
“△ABM≌△AEN.”那么()
A.小华、小明都对B.小华、小明都不对
C.小华对、小明不对
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