类比、拓展探究题Word下载.doc
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如图3,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(2,0),点B的坐标为(5,0),点P为线段AB外一动点,且PA=2,PM=PB,∠BPM=90°
,请直接写出线段AM长的最大值及此时点P的坐标.
【分析】
(1)(思路分析)根据点A位于CB的延长线上时,线段AC的长取得最大值,即可得到结论;
解:
CB的延长线上,a+b
【解法提示】:
(1)∵点A为线段BC外一动点,且BC=a,AB=b,
∴当点A位于CB的延长线上时,线段AC的长取得最大值,且最大值为BC+AB=a+b,
故答案为:
CB的延长线上,a+b;
(2)(思路分析)①根据等边三角形的性质得到AD=AB,AC=AE,∠BAD=∠CAE=60°
,推出△CAD≌△EAB,根据全等三角形的性质得到CD=BE;
②由于线段BE长的最大值=线段CD的最大值,根据
(1)中的结论即可得到结果;
①CD=BE,
理由:
∵△ABD与△ACE是等边三角形,
∴AD=AB,AC=AE,∠BAD=∠CAE=60°
,
∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC,
即∠CAD=∠EAB,
在△CAD与△EAB中,,
∴△CAD≌△EAB,
∴CD=BE;
②∵线段BE长的最大值=线段CD的最大值,
由
(1)知,当线段CD的长取得最大值时,点D在CB的延长线上,
∴最大值为BD+BC=AB+BC=4;
(3)(思路分析)连接BM,将△APM绕着点P顺时针旋转90°
得到△PBN,连接AN,得到△APN是等腰直角三角形,根据全等三角形的性质得到PN=PA=2,BN=AM,根据当N在线段BA的延长线时,线段BN取得最大值,即可得到最大值为2+3;
如图2,过P作PE⊥x轴于E,根据等腰直角三角形的性质即可得到结论.
2,P(2﹣,).
(解法提示)连接BM,将△APM绕着点P顺时针旋转90°
得到△PBN,连接AN,
则△APN是等腰直角三角形,
∴PN=PA=2,BN=AM,
∵A的坐标为(2,0),点B的坐标为(5,0),
∴OA=2,OB=5,
∴AB=3,
∴线段AM长的最大值=线段BN长的最大值,
∴当N在线段BA的延长线时,线段BN取得最大值,
最大值=AB+AN,
∵AN=AP=2,
∴最大值为2+3;
如图2,过P作PE⊥x轴于E,
∵△APN是等腰直角三角形,
∴PE=AE=,
∴OE=BO﹣﹣3=2﹣,
∴P(2﹣,).
【方法指导】对于类比探究题,一般会有三问,每一问都是对前一问的升华和知识迁移应用,因此,在做这类题时,应从第
(1)问开始,逐步进行,对于每一问都不能跳跃.一般地,第
(1)问中,通过操作发现,找出解决问题的方法,可以利用全等或者相似进行求解,注意这一问有时会因为简单而不要求写出求解过程(如:
直接写出结论等),但对于考生而言,最好能不怕麻烦,将其解决过程完全呈现,从而找出其中演变的方法和思路;
对于第
(2)问,通过改变第
(1)问的某个条件来计算求值,这样可以在做第
(1)问的基础上,将变化的条件代入其中,观察其变化的特点;
第(3)问一般是在原题设的情景下,将条件改变,而应用相同的解题思路做题,因此,可以沿用第
(1)问的解题方法,或者反方向思维,找出解决第(3)问的方法加以求解.
试题演练
1.(15长春)在矩形ABCD中,已知AD>
AB.在边AD上取点E,使AE=AB,连接CE,过点E作EF⊥CE,与边AB或其延长线交于点F.
猜想:
如图①,当点F在边AB上时,线段AF与DE的大小关系为________.
探究:
如图②,当点F在边AB的延长线上时,EF与边BC交于点G.判断线段AF与DE的大小关系,并加以证明.
应用:
如图②,若AB=2,AD=5,利用探究得到的结论,求线段BG的长.
第1题图
2.(16郑州二模)如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°
,∠B=60°
,D为AB的中点,/EDF=90°
,DE交AC于点G,DF经过点C.
(1)求/ADE的度数;
(2)如图2,将图1中的∠EDF绕点D顺时针方向旋转角α(0°
<
α<
60°
),旋转过程中的任意两个位置分别记为∠E1DF1,∠E2DF2,DE1交直线AC于点P,DF1交直线BC于点Q,DE2交直线AC于点M,DF2交直线BC于点N,求的值;
(3)若图1中∠B=β(60°
β<
90°
),
(2)中的其余条件不变,请直接写出的值(用含β的式子表示).
3.(16石家庄一模)如图1,一副直角三角板满足AB=BC,AC=DE,∠ABC=∠DEF=90°
∠EDF=30°
【操作1】将三角板DEF的直角顶点E放置于三角板ABC的斜边AC上,再将三角板DEF绕点E旋转,并使边DE与边AB交于点P,边EF与边BC于点Q.
在旋转过程中,如图2,当时,EP与EQ满足怎样的数量关系?
并给出证明.
【操作2】在旋转过程中,如图3,当时EP与EQ满足怎样的数量关系?
,并说明理由.
【总结操作】根据你以上的探究结果,试写出当时,EP与EQ满足的数量关系是什么?
其中m的取值范围是什么?
(直接写出结论,不必证明)m.
第1题
4.(16黄石)在△ABC中,AB=AC,∠BAC=2∠DAE=2α.
(1)如图1,若点D关于直线AE的对称点为F,求证:
△ADF∽△ABC;
(2)如图2,在
(1)的条件下,若α=45°
,求证:
DE2=BD2+CE2;
(3)如图3,若α=45°
,点E在BC的延长线上,则等式DE2=BD2+CE2还能成立吗?
请说明理由.
5.(16·
陕西)问题提出
(1)如图①,已知△ABC,请画出△ABC关于直线AC对称的三角形.
问题探究
(2)如图②,在矩形ABCD中,AB=4,AD=6,AE=4,AF=2,是否在边BC、CD上分别存在点G、H,使得四边形EFGH的周长最小?
若存在,求出它周长的最小值;
若不存在,请说明理由.
问题解决
(3)如图③,有一矩形板材ABCD,AB=3米,AD=6米,现想从此板材中裁出一个面积尽可能大的四边形EFGH部件,使∠EFG=90°
,EF=FG=米,∠EHG=45°
,经研究,只有当点E、F、G分别在边AD、AB、BC上,且AF<BF,并满足点H在矩形ABCD内部或边上时,才有可能裁出符合要求的部件,试问能否裁得符合要求的面积尽可能大的四边形EFGH部件?
若能,求出裁得的四边形EFGH部件的面积;
若不能,请说明理由.
6.(15河南)如图1,在Rt△ABC中,∠B=90°
,BC=2AB=8,点D、E分别是边BC、AC的中点,连接DE,将△EDC绕点C按顺时针方向旋转,记旋转角为α.
(1)问题发现
①当α=0°
时,= ;
②当α=180°
时,= .
(2)拓展探究
试判断:
当0°
≤α<360°
时,的大小有无变化?
请仅就图2的情形给出证明.
(3)问题解决
当△EDC旋转至A,D,E三点共线时,直接写出线段BD的长.
7.(16龙东)已知:
点P是平行四边形ABCD对角线AC所在直线上的一个动点(点P不与点A、C重合),分别过点A、C向直线BP作垂线,垂足分别为点E、F,点O为AC的中点.
(1)当点P与点O重合时如图1,易证OE=OF(不需证明)
(2)直线BP绕点B逆时针方向旋转,当∠OFE=30°
时,如图2、图3的位置,猜想线段CF、AE、OE之间有怎样的数量关系?
请写出你对图2、图3的猜想,并选择一种情况给予证明.
5
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- 类比 拓展 探究