第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ2.9函数模型及其应用Word文档格式.doc
- 文档编号:14647373
- 上传时间:2022-10-23
- 格式:DOC
- 页数:13
- 大小:386.50KB
第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ2.9函数模型及其应用Word文档格式.doc
《第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ2.9函数模型及其应用Word文档格式.doc》由会员分享,可在线阅读,更多相关《第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ2.9函数模型及其应用Word文档格式.doc(13页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
x≤12时,f(x)=24-2x,观察四个选项知,故选D.
[点石成金] 判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法
(1)构建函数模型法:
当根据题意易构建函数模型时,先建立函数模型,再结合模型选图象.
(2)验证法:
当根据题意不易建立函数模型时,则根据实际问题中两变量的变化快慢等特点,结合图象的变化趋势,验证是否吻合,从中排除不符合实际的情况,选择出符合实际情况的答案.
考点2 应用所给函数模型解决实际问题
[典题2] 某医药研究所开发的一种新药,如果成年人按规定的剂量服用,据监测,服药后每毫升血液中的含药量y(微克)与时间t(小时)之间近似满足如图所示的曲线.
(1)写出第一次服药后y与t之间的函数关系式y=f(t);
(2)据进一步测定,每毫升血液中含药量不少于0.25微克时治疗疾病有效,求服药一次后治疗疾病有效的时间.
[解]
(1)由题图,设y=
当t=1时,由y=4,得k=4,
由1-a=4,得a=3.
所以y=
(2)由y≥0.25,得或
解得≤t≤5.
因此服药一次后治疗疾病有效的时间是5-=(小时).
[点石成金] 求解已给函数模型解决实际问题的关注点
(1)认清所给函数模型,弄清哪些量为待定系数.
(2)根据已知利用待定系数法,确定模型中的待定系数.
(3)利用该模型求解实际问题.
[提醒] 解决实际问题时要注意自变量的取值范围.
里氏震级M的计算公式为M=lgA-lgA0,其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅,A0是相应的标准地震的振幅.假设在一次地震中,测震仪记录的最大振幅是1000.此时标准地震的振幅为0.001,则此次地震的震级为________级;
9级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的________倍.
答案:
6'
10000
解析:
根据题意,由lg1000-lg0.001=6,得此次地震的震级为6级.因为标准地震的振幅为0.001,设9级地震的最大振幅为A9,则lgA9-lg0.001=9,解得A9=106,同理5级地震的最大振幅A5=102,所以9级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的10000倍.
考点3 构建函数模型解决实际问题
1.几类函数模型
函数模型
函数解析式
一次函
数模型
f(x)=ax+b(a,b为常数,a≠0)
反比例函
f(x)=+b(k,b为常数且k≠0)
二次函
f(x)=ax2+bx+c
(a,b,c为常数,a≠0)
指数函
f(x)=bax+c
(a,b,c为常数,b≠0,a>
0且a≠1)
对数函
f(x)=blogax+c
幂函数
模型
f(x)=axn+b(a,b为常数,a≠0)
2.三种函数模型的性质
函数
性质
y=ax(a>
1)
y=logax(a>
y=xn(n>
0)
在(0,+∞)上
的增减性
单调______
单调递增
增长速度
越来越快
越来越慢
相对平稳
图象的变化
随x的增大逐渐表现为与________平行
随n值变化而各有不同
值的比较
存在一个x0,当x>
x0时,有logax<
xn<
ax
递增 递增 y轴 x轴
求解实际问题的两个误区:
忽略自变量的取值范围;
忽略数学结果的实际合理性.
(1)据调查,某自行车存车处在某星期日的存车量为4000辆次,其中变速车存车费是每辆一次0.3元,普通车存车费是每辆一次0.2元.若普通车存车数为x辆次,存车费总收入为y元,则y关于x的函数关系式是________.
y=-0.1x+1200(0≤x≤4000,x∈N)
y=0.2x+(4000-x)×
0.3=-0.1x+1200(0≤x≤4000,x∈N),这里不能忽略x的取值范围,否则函数解析式失去意义.
(2)要在边长为16米的正方形草坪上安装喷水龙头,使整个草坪都能喷洒到水,假设每个喷水龙头的喷洒范围都是半径为6米的圆面,则最少需安装喷水龙头________个.
4
可以将正方形分割成4个全等的正方形,每个小正方形的对角线长为8<
12,所以安装4个喷水龙头就可以满足题意.由于是实际问题,不可以这样理解:
每个喷水龙头可喷洒的面积为36π平方米,3个喷水龙头即可喷洒的面积为108π平方米,又108π>
162,最后得出安装3个就可以,这是错误的.
复利公式.
(1)某种储蓄按复利计算利息,若本金为a元,每期利率为r,存期是x,本利和(本金加利息)为y元,则本利和y随存期x变化的函数关系式是________.
y=a(1+r)x
(2)人口的增长、细胞分裂的个数以及存款利率(复利)的计算等问题都可以用________函数模型解决.
指数
[考情聚焦] 高考对函数应用的考查,常与二次函数、基本不等式及导数等知识交汇,以解答题为主要形式出现,考查用函数知识解决以社会实际生活为背景的成本最低、利润最高、产量最大、效益最好、用料最省等实际问题.
主要有以下几个命题角度:
角度一
二次函数模型
[典题3] 为了保护环境,发展低碳经济,某单位在国家科研部门的支持下,进行技术攻关,采用了新工艺,把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨,最多为600吨,月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为:
y=x2-200x+80000,且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品的价值为100元.则该单位每月能否获利?
如果获利,求出最大利润;
如果不获利,则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损?
[解] 设该单位每月获利为S,
则S=100x-y=100x-
=-x2+300x-80000=-(x-300)2-35000,
因为400≤x≤600,所以当x=400时,S有最大值-40000.
故该单位不获利,需要国家每月至少补贴40000元,才能不亏损.
[点石成金] 二次函数模型问题的三个注意点
(1)二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性解决,但一定要密切注意函数的定义域,否则极易出错;
(2)确定一次函数模型时,一般是借助两个点来确定,常用待定系数法;
(3)解决函数应用问题时,最后要还原到实际问题.
角度二
构造分段函数模型
[典题4] 国庆期间,某旅行社组团去风景区旅游,若每团人数在30或30以下,飞机票每张收费900元;
若每团人数多于30,则给予优惠:
每多1人,机票每张减少10元,直到达到规定人数75人为止.每团乘飞机,旅行社需付给航空公司包机费15000元.
(1)写出飞机票的价格关于人数的函数;
(2)每团人数为多少时,旅行社可获得最大利润?
[解]
(1)设旅行团人数为x,由题得0<
x≤75(x∈N*),飞机票价格为y元,
则y=
即y=
(2)设旅行社获利S元,
则S=
即S=
因为S=900x-15000在区间(0,30]上为单调增函数,故当x=30时,S取最大值12000元,
又S=-10(x-60)2+21000在区间(30,75]上,
当x=60时,取得最大值21000.
故当x=60时,旅行社可获得最大利润.
[点石成金] 解决分段函数模型问题的三个注意点
(1)实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出,而是由几个不同的关系式构成,如出租车票价与路程之间的关系,应构建分段函数模型求解;
(2)构造分段函数时,要力求准确、简捷,做到分段合理、不重不漏;
(3)分段函数的最值是各段的最大(或最小)值的最大者(最小者).
角度三
构建“对勾”函数f(x)=x+(a>
0)模型
[典题5] 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C(单位:
万元)与隔热层厚度x(单位:
cm)满足关系C(x)=(0≤x≤10),若不建隔热层,每年能源消耗费用为8万元,设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.
(1)求k的值及f(x)的表达式;
(2)隔热层修建多厚时,总费用f(x)达到最小,并求最小值.
[解]
(1)由已知条件得C(0)=8,则k=40,
因此f(x)=6x+20C(x)
=6x+(0≤x≤10).
(2)f(x)=6x+10+-10
≥2-10
=70(万元),
当且仅当6x+10=,即x=5时等号成立.
所以当隔热层厚度为5cm时,总费用f(x)达到最小值,最小值为70万元.
[点石成金] 应用函数模型y=x+的关键点
(1)明确对勾函数是正比例函数f(x)=ax与反比例函数f(x)=叠加而成的.
(2)解决实际问题时一般可以直接建立f(x)=ax+的模型,有时可以将所列函数关系式转化为f(x)=ax+的形式.
(3)利用模型f(x)=ax+求解最值时,要注意自变量的取值范围,及取得最值时等号成立的条件.
角度四
构建指、对函数或复杂的分式结构函数模型
[典题6] 已知一容器中有A,B两种菌,且在任何时刻A,B两种菌的个数乘积为定值1010,为了简单起见,科学家用PA=lgnA来记录A菌个数的资料,其中nA为A菌的个数,现有以下几种说法:
①PA≥1;
②若今天的PA值比昨天的PA值增加1,则今天的A菌个数比昨天的A菌个数多10;
③假设科学家将B菌的个数控制为5万,则此时5<
PA<
5.5(注:
lg2≈0.3).
则正确的说法为________.(写出所有正确说法的序号)
[答案] ③
[解析] 当nA=1时,PA=0,故①错误;
若PA=1,则nA=10,若PA=2,则nA=100,故②错误;
B菌的个数为nB=5×
104,
∴nA==2×
105,∴PA=lgnA=lg2+5.
又∵lg2≈0.3,∴5<
5.5,故③正确.
[点石成金] 一般地,涉及增长率问题、存蓄利息问题、细胞分裂问题等,都可以考虑用指数函数的模型求解.求解时注意指数式与对数式的互化,指数函数的值域的影响以及实际问题中的条件限制.
[方法技巧] 解函数应用问题的四步骤
(1)审题:
弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择函数模型;
(2)建模
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 第二 函数 概念 基本 初等 2.9 模型 及其 应用
![提示](https://static.bdocx.com/images/bang_tan.gif)