第2章4节等边三角形性质与判定答案Word下载.doc
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1、定义
三边都相等的三角形是等边三角形。
等边三角形是特殊的等腰三角形。
(注意:
若三角形三边都相等则说这个三角形为等边三角形,而一般不称这个三角形为等腰三角形)
2、性质
(1)等边三角形的内角都相等,且为60度
(2)等边三角形底角边上的中线、底角边上高线和所对顶角的角的平分线互相重合(三线合一) (3)等边三角形是轴对称图形,它有三条对称轴,对称轴是每条边上的中线、高线或所对角的平分线所在直线 (4)等边三角形是锐角三角形
3、判定
(首先考虑判断三角形是等腰三角形)
(1)三边相等的三角形是等边三角形(定义)
(2)三个内角都相等的三角形是等边三角形 (3)有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形 (4)有两个角等于60度的三角形是等边三角形
【例题经典
等边三角形是特殊的等腰三角形,是证明角相等、线段相等的重要工具.在解答几何问题时,我们若能及时发现或构造等边三角形,则往往比较容易找到解题的切人点,现举例说明.
一、求角度的大小
例1如图1,AD是等边ABC的中线,在AC上取AE=AD.求EDC的度数.
解析:
因为ABC是等边三角形且AD
是等边ABC的中线,所以AD是C的平
分线和BC边上的高,且CAD=BAD:
30°
。
ADC=90°
.又AE=AD,所以ADE.:
AED=75°
.所以EDC=90°
-75°
=15°
.
点评:
由计算可知。
无论是等边三角形还是等腰三角形,只要满足AD=AE,都有结论EDC=BAD.
二、证明线段相等
例2如图2,已知ABC为等边三角形,D、E、F分别在边BC、CA、AB上,且DEF也是等边三角形,除了已知相等的边以外,请你猜想还有哪些相等的线段,并证明你的猜想。
本题是一道开放型探索题,要充分利用等边三角形的相关知识来解答.图中相等的线段有AE=BF=CD,AF=BD=CE.
·
.·
ABC与DEF都是等边三角形,.A=B=C=60°
.EDF=
DEF=EFD=60°
DE=EF=FD.叉∵CED+AEF=120°
.CDE+CED=120度.∴AEF=CDE.同理.得CDE=BFD.∴AEF≌BFD≌△CDE(AAS).所以AE=BF=CD,AF=BD=CE.
解答时,应根据条件探索相应的结论符合条件的结论往往有多个,需充分利用条件进行合理猜想,发现规律,得出结论。
三、判断三角形的形状
例3如图3,P是等边三角形ABC内的一点,连接PA、PB、PC,以BP为边作PBQ=60°
,且BQ=BP,连接CQ.
(1)观察并猜想AP与CQ之间的大小关系。
并证明你的结论.
(2)若PA:
PB:
PC=3:
4:
5,连接PQ,试判断△PQC的形状,并说明理由.
(1)通过观察发现,由于AP所在的△ABP与CQ所在的△CBQ的形状相同、大小接近。
那么△ABP与△CBQ有可能全等.所以可以猜想AP=CQ.下面证明这一猜想是否成立.
因为△ABC是等边三角形,
所以AB=CB。
ABC=60°
.所以ABP=60°
-PBC。
由PBQ=60°
,所以CBQ=60°
-PBC.所以ABP=CBQ.
又BP=BQ,
所以△ABP≌△CBQ(SAS),即AP=CQ.
(2)△PQC是直角三角形,理由如下:
因为PA:
5,
所以可设PA=3a,PB=4a,PC=5a.
因为BQ=BP.PBQ=60°
所以△PBQ是等边三角形.这时PQ=PB=4a.
在△PCQ中,因为PQ=4a,CQ=PA=3a,PC=5a,
所以PQ2+PC2=PC2,
所以△PQC是直角三角形.
四、处理与动点有关的问题
例4如图4,把等边△ABC和等边△BCD拼合在一起,E在AB上移动,F在BD上移动。
且满足AE=BF,试说明不论E、F怎样移动,△ECF总是等边三角形.
因为△ABC和△BCD都是等边三角形。
所以△ABC与△BCD关于BC所在的直线对称;
又BA=BD,E在AB上移动,F在BD上移动,且满足AE=BF,所以BE=DF,而CB=CD.
D=CBE=60°
,所以△ECB≌△FCD,所以CE=CF,DCF=
BCE,而DCF+BCF=60°
.即DCE+BCF=60°
则ECF=60°
,所以△ECF为等边三角形..
这里不能误认为△BCE与△BCF是关于BC对称的两个三角形.
五、计算三角形的周长
例5如图5,△ABC是边长为1的等边三角形,△BDC是顶角BDC为120°
的等腰三角形,以D为顶点做一个60°
角,角的两边分别交AB与M,交AC于N,连接MN。
形成一个三角形.求证:
△AMN的周长等于2.
要证明△AMN的周长等于2,由于△ABC的边长为1.实际上所求证的问题是MN=BM+CN.为此,延长AC至E,使CE=BM,只须证明MN=EN即可.于是可证△MDN≌△EDN,从题目条件中很容易发现DN为公共边,
DBC=DCB=30°
,再结合等边三角形的每个内角都是60°
.便可得到ABD=ACD=90°
,而DB=DC,CE=BM.所以△DMB≌△DEC.所以DM=DE.BDM=CDE,由于
MDN=60°
.所以BDM+CDN=60°
,于是CDE+CDN=60°
,即EDN=60°
.所以MDN=EDN,DM=DE。
所以△MDN≌△AEDN.所以MN=EN,从而证得结论.
纵向应用
1.如图14-48,已知等边ΔABC的ABC、ACB的平分线交于O点,若BC上的点E、F分别在OB、OC垂直平分线上,试说明EF与AB的关系,并加以证明。
2.如图14-49,C是线段AB上的一点,ΔACD和ΔBCE是两个等边三角形,点D、E在AB同旁,AE交CD于点G,BD交CE于点H,求证:
GH∥AB。
3.如图14-50,已知ABC是等边三角形,E是AC延长线上一点,选择一点D使得ΔCDE是等边三角形,如果M是线段AD的中点,N是线段BE的中点,求证:
ΔCMN是等边三角形。
4.如图14-51,C是线段AB上一点,分别以BC、AC为边作等边ΔACD和ΔCBE,M为AE的中点,N为DB的中点,求证:
ΔCMN为等边三角形。
【
5.如图14-52,在四边形ABCD中,∠A+∠B=1200,AD=BC,以CD为边向形外作等边ΔCDE,连结AE,求证:
ΔABE为等边三角形。
6如图14-53,已知ΔABC是等边三角形D为AC上一点∠1=∠2,BD=CE,求证:
ΔADE是等边三角形。
7.如图14-54,设在四边形ABCD中,∠A+∠B=1200,AD=BC,M、N、P分别是AC、BD、CD的中点。
求证:
ΔMNP是等边三角形。
8.如图14-55,在等腰梯形ABCD中,AB∥CD,AB>
CD,AD=BC,对角线AC、BD交于点O,∠AOB=600,且E、F分别是OD、OA的中点,M是BC的中点,求证:
ΔEFM是等边三角形。
9.如图14-56,在ABCD中,ΔABE和ΔBCF都是等边三角形,求证:
ΔDEF是等边三角形。
10.如图14-57,已知D为等边ΔABC内一点,DA=DC,P点在ΔABC外,且CP=CA,CD平分∠PCB,求∠P。
横向拓展
1.如图14-58,已知P是等边三角形ABC内一点,APB:
CPA=5:
6:
7,求以PA、PB、PC为边长的三角形的三内角之比。
2.如图14-59,点O为等边ΔABC内一点,∠AOB=1100,∠BOC=1350,试问:
(1)以OA、OB、OC为边,能否构成三角形?
若能,请求出该三角形各内角的度数;
若不能,请说明理由;
(2)如果∠AOB大小保持不变,那么当∠BOC等于多少度时,以OA、OB、OC为边的三角形是一个直角三角形?
3.如图14-60,已知ΔABC是边长为1的等边三角形,ΔBDC是顶角∠BDC为1200的等腰三角形,以点D为顶点作一个600角的两边分别交AB于点M,交AC于点N,连结MN,形成一个三角形。
AMN的周长等于2。
4.如图14-61,在ΔABC中,∠A=600,BE⊥AC,垂足为E,CF⊥AB,垂足为F,点D是BC的中点,BE、CF交于点M。
(1)如果AB=AC,求证:
ΔDEF是等边三角形;
(2)如果AB≠AC,试猜想ΔDEF是不是等边三角形?
如果ΔDEF是等边三角形,请加以证明;
如果ΔDEF不是等边三角形,请说明理由;
(3)如果CM=4cm,FM=5cm,求BE的长度。
5.如图14-62,已知AO=10,P是射线ON上一动点(即P点可在射线ON上运动),∠AON=600。
(1)OP为多少时,ΔAOP为等边三角形?
(2)OP为多少时,ΔAOP为直角三角形?
(3)OP为多少时,ΔAOP为锐角三角形?
(4)OP满足什么条件时,ΔAOP为钝角三角形?
参考答案等边三角形双基训练
1.7个2.293.提示:
证ΔABD≌ΔBCE,证∠BPG=600
1.EF=2.提示:
证ΔGCH为等边三角形3.提示:
ΔECB≌ΔDCA,ΔECN≌ΔDCM4.略5.提示:
证ΔADE≌ΔBCE6.提示:
证ΔABD≌ΔACE7.略8.略9.提示:
证ΔADE≌ΔEBF10.300。
提示:
连结BD,易证ΔABD≌ΔCBD,再证ΔCDP≌ΔADB
1.2:
3:
4.提示:
将ΔAPC绕顶点C逆时针方向转600,点P转到点P′的位置,连结PP′2.
(1)能,500,550,750
(2)1500或10003.提示:
延长AC至点E,使CE=BM,连结DE。
证ΔMDB≌ΔEDC,ΔMDN≌ΔEDN4.
(1)略
(2)提示:
证∠EDF=600(3)12cm5.(1
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