立体几何专题训练(附答案)Word文档格式.doc
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图1
6
19.解:
(1)如图(a),因为四边形ACC1A1为矩形,所以CC1⊥AC.同理DD1⊥BD.
因为CC1∥DD1,所以CC1⊥BD.而AC∩BD=O,因此CC1⊥底面ABCD.
由题设知,O1O∥C1C.故O1O⊥底面ABCD.
(2)方法一:
如图(a),过O1作O1H⊥OB1于H,连接HC1.
由
(1)知,O1O⊥底面ABCD,所以O1O⊥底面A1B1C1D1,于是O1O⊥A1C1.
图(a)
又因为四棱柱ABCD
A1B1C1D1的所有棱长都相等,所以四边形A1B1C1D1是菱形,
因此A1C1⊥B1D1,从而A1C1⊥平面BDD1B1,所以A1C1⊥OB1,于是OB1⊥平面O1HC1.
进而OB1⊥C1H.故∠C1HO1是二面角C1
D的平面角.
不妨设AB=2.因为∠CBA=60°
,所以OB=,OC=1,OB1=.
在Rt△OO1B1中,易知O1H==2.而O1C1=1,于是C1H===.
故cos∠C1HO1===.
即二面角C1
D的余弦值为.
方法二:
因为四棱柱ABCD
A1B1C1D1的所有棱长都相等,所以四边形ABCD是菱形,因此AC⊥BD.又O1O⊥底面ABCD,从而OB,OC,OO1两两垂直.
图(b)
如图(b),以O为坐标原点,OB,OC,OO1所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系O
xyz,不妨设AB=2.因为∠CBA=60°
,所以OB=,OC=1,于是相关各点的坐标为O(0,0,0),
B1(,0,2),C1(0,1,2).
易知,n1=(0,1,0)是平面BDD1B1的一个法向量.
设n2=(x,y,z)是平面OB1C1的一个法向量,则即
取z=-,则x=2,y=2,所以n2=(2,2,-).
设二面角C1
D的大小为θ,易知θ是锐角,于是
cosθ=|cos〈,〉|===.
故二面角C1
19.、、[2014·
江西卷]如图1
6,四棱锥P
ABCD中,ABCD为矩形,平面PAD⊥平面ABCD.
(1)求证:
AB⊥PD.
(2)若∠BPC=90°
,PB=,PC=2,问AB为何值时,四棱锥P
ABCD的体积最大?
并求此时平面BPC与平面DPC夹角的余弦值.
因为ABCD为矩形,所以AB⊥AD.
又平面PAD⊥平面ABCD,
平面PAD∩平面ABCD=AD,
所以AB⊥平面PAD,故AB⊥PD.
(2)过P作AD的垂线,垂足为O,过O作BC的垂线,垂足为G,连接PG.
故PO⊥平面ABCD,BC⊥平面POG,BC⊥PG.
在Rt△BPC中,PG=,GC=,BG=.
设AB=m,则OP==,故四棱锥P
ABCD的体积为
V=×
·
m·
=.
因为m==
,
所以当m=,即AB=时,四棱锥P
ABCD的体积最大.
此时,建立如图所示的空间直角坐标系,各点的坐标分别为O(0,0,0),B,C,D,P,故=,=(0,,0),CD=.
设平面BPC的一个法向量为n1=(x,y,1),
则由n1⊥,n1⊥,得解得x=1,y=0,则n1=(1,0,1).
同理可求出平面DPC的一个法向量为n2=.
设平面BPC与平面DPC的夹角为θ,则cosθ===.
辽宁卷]如图1
5所示,△ABC和△BCD所在平面互相垂直,且AB=BC=BD=2,∠ABC=∠DBC=120°
,E,F分别为AC,DC的中点.
EF⊥BC;
(2)求二面角E
BF
C的正弦值.
5
方法一,过点E作EO⊥BC,垂足为O,连接OF.由△ABC≌△DBC可证出△EOC≌△FOC,所以∠EOC=∠FOC=,即FO⊥BC.又EO⊥BC,EO∩FO=O,所以BC⊥平面EFO.又EF⊂平面EFO,所以EF⊥BC.
图1
方法二,由题意,以B为坐标原点,在平面DBC内过B作垂直BC的直线,并将其作为x轴,BC所在直线为y轴,在平面ABC内过B作垂直BC的直线,并将其作为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,易得B(0,0,0),A(0,-1,),D(,-1,0),C(0,2,0),因而E(0,,),F(,,0),所以=(,0,-),=(0,2,0),因此·
=0,
从而⊥,所以EF⊥BC.
图2
(2)方法一,在图1中,过点O作OG⊥BF,垂足为G,连接EG.因为平面ABC⊥平面BDC,所以EO⊥面BDC,又OG⊥BF,所以由三垂线定理知EG⊥BF,
因此∠EGO为二面角E
C的平面角.
在△EOC中,EO=EC=BC·
cos30°
由△BGO∽△BFC知,OG=·
FC=,因此tan∠EGO==2,从而得sin∠EGO=,即二面角E
C的正弦值为.
方法二,在图2中,平面BFC的一个法向量为n1=(0,0,1).
设平面BEF的法向量n2=(x,y,z),
又=(,,0),=(0,,),
所以得其中一个n2=(1,-,1).
设二面角E
C的大小为θ,且由题知θ为锐角,则cosθ=|cos〈n1,n2〉|==,
因此sinθ==,即所求二面角正弦值为.
19.G5、G11[2014·
新课标全国卷Ⅰ]如图1
5,三棱柱ABC
A1B1C1中,侧面BB1C1C为菱形,AB⊥B1C.
AC=AB1;
(2)若AC⊥AB1,∠CBB1=60°
,AB=BC,求二面角A
A1B1
C1的余弦值.
连接BC1,交B1C于点O,连接AO,因为侧面BB1C1C为菱形,所以B1C⊥BC1,且O为B1C及BC1的中点.
又AB⊥B1C,所以B1C⊥平面ABO.
由于AO⊂平面ABO,故B1C⊥AO.
又B1O=CO,故AC=AB1.
(2)因为AC⊥AB1,且O为B1C的中点,所以AO=CO.
又因为AB=BC,所以△BOA≌△BOC.故OA⊥OB,从而OA,OB,OB1两两垂直.
以O为坐标原点,OB的方向为x轴正方向,|OB|为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系O
xyz.
因为∠CBB1=60°
,所以△CBB1为等边三角形,又AB=BC,则A,B(1,0,0),B1,C.
=,
=AB=,
1=BC=.
设n=(x,y,z)是平面AA1B1的法向量,则
即
所以可取n=(1,,).
设m是平面A1B1C1的法向量,
则
同理可取m=(1,-,).
则cos〈n,m〉==.
所以结合图形知二面角A
C1的余弦值为.
18.,,,[2014·
四川卷]三棱锥A
BCD及其侧视图、俯视图如图1
4所示.设M,N分别为线段AD,AB的中点,P为线段BC上的点,且MN⊥NP.
P是线段BC的中点;
(2)求二面角A
NP
M的余弦值.
18.解:
(1)如图所示,取BD的中点O,连接AO,CO.
由侧视图及俯视图知,△ABD,△BCD为正三角形,
所以AO⊥BD,OC⊥BD.
因为AO,OC⊂平面AOC,且AO∩OC=O,
所以BD⊥平面AOC.
又因为AC⊂平面AOC,所以BD⊥AC.
取BO的中点H,连接NH,PH.
又M,N,H分别为线段AD,AB,BO的中点,所以MN∥BD,NH∥AO,
因为AO⊥BD,所以NH⊥BD.
因为MN⊥NP,所以NP⊥BD.
因为NH,NP⊂平面NHP,且NH∩NP=N,所以BD⊥平面NHP.
又因为HP⊂平面NHP,所以BD⊥HP.
又OC⊥BD,HP⊂平面BCD,OC⊂平面BCD,所以HP∥OC.
因为H为BO的中点,所以P为BC的中点.
如图所示,作NQ⊥AC于Q,连接MQ.
由
(1)知,NP∥AC,所以NQ⊥NP.
因为MN⊥NP,所以∠MNQ为二面角A
M的一个平面角.
由
(1)知,△ABD,△BCD为边长为2的正三角形,所以AO=OC=.
由俯视图可知,AO⊥平面BCD.
因为OC⊂平面BCD,所以AO⊥OC,因此在等腰直角△AOC中,AC=.
作BR⊥AC于R
因为在△ABC中,AB=BC,所以R为AC的中点,
所以BR==.
因为在平面ABC内,NQ⊥AC,BR⊥AC,
所以NQ∥BR.
又因为N为AB的中点,所以Q为AR的中点,
所以NQ==.
同理,可得MQ=.
故△MNQ为等腰三角形,
所以在等腰△MNQ中,
cos∠MNQ===.
故二面角A
M的余弦值是.
由俯视图及
(1)可知,AO⊥平面BCD.
因为OC,OB⊂平面BCD,所以AO⊥OC,AO⊥OB.
又OC⊥OB,所以直线OA,OB,OC两两垂直.
如图所示,以O为坐标原点,以OB,OC,OA的方向为x轴,y轴,z轴的正方向,建立空间直角坐标系O
xyz.
则A(0,0,),B(1,0,0),C(0,,0),D(-1,0,0).
因为M,N分别为线段AD,AB的中点,
又由
(1)知,P为线段BC的中点,
所以M,N,P,于是AB=(1,0,-),BC=(-1,,0),MN=(1,0,0),NP=.
设平面ABC的一个法向量n1=(x1,y1,z1),
由得即
从而
取z1=1,则x1=,y1=1,所以n1=(,1,1).
设平面MNP的一个法向量n2=(x2,y2,z2),由,
得
取z2=1,则y2=1,x2=0,所以n2=(0,1,1).
设二面角A
M的大小为θ,则cosθ===.
故二面角A
NP
M的余弦值是.
17.、[2014·
天津卷]如图1
4所示,在四棱锥P
ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD⊥AB,AB∥DC,AD=DC=AP=2,AB=1,点E为棱PC的中点.
BE⊥DC;
(2)求直线BE与平面PBD所成角的正弦值;
(3)若F为棱PC上一点,满足BF⊥AC,求二面角F
AB
P的余弦值.
17.解:
方法一:
依题意,以点A为原点建立空间直角坐标系(如图所示),可得B(1,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2).C由E为棱PC的中点,得E(1,1,1).
向量BE=(0,1,1),DC=(2,0,0),
故BE·
DC=0,
所以BE⊥DC.
(2)向量BD=(-1,2,0),PB=(1,0,-2).
设n=(x,y,z)为平面PBD的法向量,
则即
不妨令y=1,可得n=(2,1,1)为平面PBD的一个法向量.于是有
cos〈n,BE〉===,
所以直线BE与平面PBD所成角的正弦值为.
(3)向量BC=(1,2,0),CP=(-2,-2,2),AC=(2,
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