数值计算方法课件第一章绪论PPT格式课件下载.ppt
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,MatlabMathematicsFortranCC+,物理问题中:
1误差/*Error*/,一、误差的来源与分类/*Source&
Classification*/,1、从实际问题中抽象出数学模型模型误差/*ModelingError*/,2、通过观测得到模型中某些参数(或物理量)的值观测误差/*MeasurementError*/,3、数学模型与数值算法之间的误差方法误差(截断误差/*TruncationError*/),4、由于机器字长有限,原始数据和计算过程会产生新的误差舍入误差/*RoundoffError*/,二、误差分析的基本概念/*BasicConcepts*/,设为真值(精确值),为的一个近似值称为近似值的绝对误差,简称误差。
注:
误差可正可负,常常是无限位的,绝对误差限/*accuracy*/绝对值的上界,如:
绝对误差还不能完全表示近似值的好坏,(绝对误差/*absoluteerror*/),近似值的误差与准确值的比值:
称为近似值的相对误差,记作,注:
实际计算时,相对误差通常取,因为,(相对误差/*relativeerror*/),相对误差也可正可负,常常是无限位的,(有效数字/*SignificantDigits*/),如:
3位,6位,有效数字(另外一种定义形式),注:
0.2300有4位有效数字,而00023只有2位有效数字。
12300如果写成0.123105,则表示最多只有3位有效数字。
数字末尾的0不可随意省去!
用科学计数法,记其中,若(即的截取按四舍五入规则),则称为有位有效数字,精确到。
规格化形式,注:
若的每一位都是有效数字,则称是有效数,例2:
为使的相对误差小于0.001%,至少应取几位有效数字?
解:
假设*取到n位有效数字,则其相对误差上限为,要保证其相对误差小于0.001%,只要保证其上限满足,解不等式可得n5.69,即n=6,应取*=3.14159。
分析:
输入数据为,输出数据为,若直接由算出,再乘相应的系数并相加,则要做次乘法和次加法,占用个存储单元。
用递推公式表示为,三、数值算法及稳定性/*NumericalAlgorithmandStability*/,解法:
将作Taylor展开后再积分,|舍入误差/*RoundoffError*/|,=0.746824,由截去部分/*excludedterms*/引起,由留下部分/*includedterms*/引起,此公式精确成立,Whathappened?
!
公式一:
考察第n步的误差,公式二:
注意此公式与公式一在理论上等价。
可取,取,考察反推一步的误差:
以此类推,对nN有:
误差逐步递减,这样的算法称为稳定的算法/*stablealgorithm*/,在我们今后的讨论中,误差将不可回避,算法的稳定性将会是一个非常重要的话题。
例6:
蝴蝶效应纽约的一只蝴蝶翅膀一拍,风和日丽的北京就刮起台风来了?
!
纽约,北京,这就是一个病态问题,2误差分析的方法和原则/*ErrorAnalysis*/,一、误差分析的方法,1、向前误差分析法:
利用误差限,随着计算过程逐步向前进行分析,直至估计出最后的结果。
(例4),注:
(2)对于函数y=f(x),若用x*取代x,将对y产生什么影响?
e*(y)=f(x*)f(x)e*(x)=x*x,MeanValueTheorem,x*与x非常接近时,可认为,则有:
即:
产生的误差经过作用后被放大/缩小了倍。
故称为放大/缩小因子/*amplificationfactor*/或绝对条件数/*absoluteconditionnumber*/.,解:
由题设知:
近似值为,绝对误差限为,二、几点注意事项/*Remarks*/,1、避免相近二数相减,例:
a1=0.12345,a2=0.12346,各有5位有效数字。
而a2a1=0.00001,只剩下1位有效数字。
几种经验性避免方法:
当|x|1时:
2、避免小分母:
分母小会造成浮点溢出/*overflow*/,3、避免大数吃小数,例:
用单精度计算的根。
精确解为,算法1:
利用求根公式,在计算机内,109存为0.11010,1存为0.1101。
做加法时,两加数的指数先向大指数对齐,再将浮点部分相加。
即1的指数部分须变为1010,则:
1=0.00000000011010,取单精度时就成为:
109+1=0.100000001010+0.000000001010=0.100000001010,大数吃小数,算法2:
先解出再利用,注:
求和时从小到大相加,可使和的误差减小。
例:
按从小到大、以及从大到小的顺序分别计算1+2+3+40+109,4、先化简再计算,减少步骤,避免误差积累。
一般来说,计算机处理下列运算的速度为,5、选用稳定的算法。
称为尾数,j为阶,3计算机的数系结构/*StructureofNumberSystem*/,计算机的数系是一个不完整的数系。
计算机只能表示有限个数,即计算机的精度是有限的。
每种计算机内部运算是按固定的有限位数进行的,也就是按固定位数的有限位浮点数进行运算的。
浮点数系统由四个整数表征:
基,精度(尾数)位数,下溢界和上溢界,计算机所表示的数的集合(规格化浮点数系):
若,则,其中,.,例如:
四种排列:
尾数只能为4个数:
故F中有33个浮点数(加上0):
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- 数值 计算方法 课件 第一章 绪论