最新苏教版八年级下册数学第十二章二次根式知识点Word文档下载推荐.doc
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(a≥0)的性质
≥0
(a≥0)
一个非负数的算术平方根是非负数。
(1)二次根式的非负性(≥0,a≥0)应用较多,如:
+=0,则a+1=0,b-3=0,即a=-1,b=3;
又如+,则x的取值范围是x-a≥0,a-x≥0,解得x=a。
(2)具有非负性的性质:
①a2≥0;
②|a|≥0;
③≥0(a≥0)(3)若a2+|b|+=0,则a=0,b=0,c=0,即若几个非负数的和等于0,则这几个非负数分别等于0。
(a≥0)的最小值为0。
()2(a≥0)的性质
()2=a(a≥0)
一个非负数的算术平方根的平方等于它本身。
正用公式:
()2=5;
()2=m2+1;
逆用公式:
若a≥0,则a=()2如:
2=()2,=()2
逆用公式可以在实数范围内分解因式,如a2-5=a2-()2=(a+)(a-)
=|a|=a(a≥0)或
=|a|=-a(a<0)
一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。
(1)正用公式:
=|3-π|=3-π
(2)逆用公式:
3==3
化简形如的式子时,先转化为
|a|形式,再根据a的符号去掉绝对值号。
★()2(a≥0)与的区别与联系:
()2
区别
表示的意义不同
表示非负数a的算术平方根的平方
表示a2的算术平方根
取值范围不同
a≥0
a为任意实数
读法不同
读作“根号a的平方”或“a的算术平方根的平方”
读作“根号a2”或“a的平方的算术平方根”
被开方数不同
被开方数是a
被开方数是a2
运算顺序不同
先开放后平方
先平方后开方
运算结果,运算依据不同
()2=a,依据平方与开平方互为逆运算得到
依据算术平方根的定义得到
作用不同
()2=a(a≥0),正向运用可化简二次根式,逆向运用可以将任意一个非负数写成一个数的平方的形式
=|a|,正向运用可以将根号内的非负因式取算术平方根移到根号外,逆用运用可以将根号外的非负因式平方后移到根号内
联系
①含有两种相同的运算,都要进行平方与开方
②结果都是非负数;
③a≥0时,()2=
三、代数式
用基本运算符号(基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方)把数或表示数的字母连接起来的式子叫代数式。
例:
3,x,x+y,(x≥0),-ab,(t≠0,x3都是代数式
注
(1)单独一个数或字母也是代数式;
(2)代数式中不能含有关系符号(>,<,=等)
(1)将两个代数式用关系符号(>,<,=等)连接起来的式子叫关系式,方程和不等式都是关系式。
如2x+3>3x-5是关系式。
列代数式的常用方法:
(1)直接法:
根据问题的语言叙述直接写出代数式。
(2)公式法:
根据公式列出代数式。
(3)探究规律法:
将蕴含在一组数或一组图形中的排列规律用代数式表示出来。
四、二次根式的乘除
1、单项式与单项式相乘,把它们的系数、相同字母的幂分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式。
2、单项式与单项式相除,把系数与同底数幂分别相除,作为商的因式,对于只在被除式里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式。
五、二次根式的乘法法则
.=(a≥0,b≥0)即:
二次根式相乘,把被开方数相乘,根指数不变
(1)进行二次根式的乘法运算时,一定不能忽略其被开方数a,b均为非负数这一条件。
(2)推广①..=(a≥0,b≥0,c≥0)②a.c=ac
③乘法交换律和结合律在二次根式的乘法中任然可应用。
练习:
(1).;
(2).;
(3)4.(4)6.(-2)
六、二次根式乘法法则的逆用
=.(a≥0,b≥0)即积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积
利用这个性质可以把二次根式化简,在进行二次根式的化简运算时,先将被开方数进行因式分解或因数分解,然后再将能开得尽方的因式或因数开方后移到根号外。
注:
(1)公式中的a,b可以是数,也可以是代数式,但必须满足a≥0,b≥0,实际上,公式中的a,b是限制公式右边的,对公式的左边,只要ab≥0即可,如≠.。
(2)在本章中如果没有特别说明,所有的字母都表示正数。
推广:
=...(a≥0,b≥0,c≥0,d≥0)
三、二次根式的除法法则
=(a≥0,b>0)即:
二次根式相除,把被开方数相除,根指数不变。
(1)a必须是非负数,b必须是正数,式子才成立。
若a,b都是负数,虽然>0,有意义,但,在实数范围内无意义;
若b=0,则无意义。
(2)如果被开方数是带分数,应先将其化成假分数,如必须先化成,以免出现=×
这样的错误。
(3)在二次根式的计算中,最后结果应不含能开得尽方的因数或因式,同时分母中不含二次根式。
(m)÷
(n)=(m÷
n)×
(÷
),其中a≥0,b>0,n≠0。
七、二次根式除法法则的逆用
=(a≥0,b>0)即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。
公式中的a,b可以是数,也可以是代数式,但必须满足a≥0,b>0。
公式中的a,b是限制公式右边的,对公式的左边,只要≥0即可。
例如计算,不能写为=,而应写为===。
利用这个公式,同样可以达到化简二次根式的目的,在化简被开方数是分数(或分式)的二次根式时,先将其化为(a≥0,b>0)的形式,然后利用分式的基本性质,分子和分母同乘上一个适当的因式,化去分母中的根号即可。
当被开方数是带分数时,应先把它化成假分数。
八、最简二次根式的概念
★满足下列两个条件的二次根式,叫做最简二次根式。
(1)被开方数不含分母;
(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
★对于最简二次根式的概念我们可作如下解释:
(1)被开方数中不含分母,因此被开方数是整数或整式;
(2)被开方数中每一个因数或因式的指数都是1。
拓展:
分母有理化:
二次根式的除法可以用化去分母中的根号的方法来进行,这种化去分母中根号的变形叫做分母有理化。
分母有理化的方法是根据分式的基本性质,将分子和分母都乘上分母的有理化因式(两个含有二次根式的代数式相乘,如果它们的积不含二次根式,就说这两个代数式互为有理化因式),化去分母中的根号。
分母有理化因式不唯一,但以运算最简便为宜。
常用的有理化因式有:
与;
+与-;
a+c与a-c等。
九、二次根式的加减
1、同类项:
所含字母相同,并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项,例如3ab与-4ab
2、合并同类项:
把多项式中的同类项合并成一项,叫做合并同类项,合并同类项后,所得项的系数是合并前各同类项的系数和,且字母部分不变。
3、整式的加减:
一般地,几个整式相加减,如果有括号就先去括号,然后再合并同类项。
4、平方差公式:
(a+b)(a-b)=a2-b2完全平方公式(a±
b)2=a2±
2ab+b2
5、多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加,即(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn
十、可以合并的二次根式
★将二次根式化成最简二次根式,如果被开方数相同,则这样的二次根式可以合并。
合并的方法与合并同类项类似,把括号外的因数(式)相加,根指数和被开方数不变,合并的依据是乘法分配律,如m+n=(m+n)
化简下列二次根式,并指出哪些是可以合并的二次根式。
(1);
(2)-;
(3);
(4)(a>0,b>0);
(5)b;
(6)2;
(7)(a>0,b>0);
(8)3(a>0,b>0);
十一、二次根式的加减
★二次根式加减时,可以先将二次根式化成最简二次根式,再将被开方数相同的二次根式进行合并。
★二次根式的加减法与整式的加减法类似,步骤如下:
(1)将各个二次根式化成最简二次根式;
(2)找出化简后被开方数相同的二次根式;
(3)合并被开方数相同的二次根式—将系数相加仍作为系数,根指数与被开方数保持不变,可简记为:
化简→判断→合并。
★二次根式的加减法与二次根式的乘除法的区别如下:
运算
二次根式的乘除法
二次根式的加减法
系数
系数相乘除
系数相加减
被开方数
被开方数相乘除
被开方数不变
化简
结果化成最简二次根式
先化成最简二次根式,再合并被开方数相同的二次根式
(1)化成最简二次根式后被开方数不同的二次根式不能合并,但是不能丢弃,它们也是结果的一部分;
(2)整式加减运算中的交换律、结合律、去括号法则、添括号法则在二次根式运算中仍然适用;
(3)根号外的因式就是这个根式的系数,二次根式的系数是带分数的要化成假分数的形式。
计算:
(1)+6-2x;
(2)(-+2)-(-)
十二、二次根式的混合运算
★二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样:
先乘方、再乘除、最后加减,有括号的先算括号里面的(或先去掉括号)。
★在二次根式的运算中,有理数的运算律、多项式乘法法则及乘法公式仍然适用。
在进行二次根式的运算时,能用乘法公式的尽量使用乘法公式,有时还需要灵活运用公式和逆用公式,这样可以使计算过程大大化简。
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