最新人教版九年级数学知识点总结(2017)Word格式文档下载.doc
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21.2.1配方法
知识点一直接开平方法解一元二次方程
(1)如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方,另一边是非负数,可以直接开平方。
一般地,对于形如x2=a(a≥0)的方程,根据平方根的定义可解得x1=,x2=.
(2)直接开平方法适用于解形如x2=p或(mx+a)2=p(m≠0)形式的方程,如果p≥0,就可以利用直接开平方法。
(3)用直接开平方法求一元二次方程的根,要正确运用平方根的性质,即正数的平方根有两个,它们互为相反数;
零的平方根是零;
负数没有平方根。
(4)直接开平方法解一元二次方程的步骤是:
①移项;
②使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为1;
③两边直接开平方,使原方程变为两个一元二次方程;
④解一元一次方程,求出原方程的根。
知识点二配方法解一元二次方程
通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法,叫做配方法,配方的目的是降次,把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。
配方法的一般步骤可以总结为:
一移、二除、三配、四开。
(1)把常数项移到等号的右边;
(2)方程两边都除以二次项系数;
(3)方程两边都加上一次项系数一半的平方,把左边配成完全平方式;
⑷若等号右边为非负数,直接开平方求出方程的解。
21.2.2公式法
知识点一公式法解一元二次方程
(1)一般地,对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),如果b2-4ac≥0,那么方程的两个根为x=,这个公式叫做一元二次方程的求根公式,利用求根公式,我们可以由一元二方程的系数a,b,c的值直接求得方程的解,这种解方程的方法叫做公式法。
(2)一元二次方程求根公式的推导过程,就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的过程。
(3)公式法解一元二次方程的具体步骤:
①方程化为一般形式:
ax2+bx+c=0(a≠0),一般a化为正值
②确定公式中a,b,c的值,注意符号;
③求出b2-4ac的值;
④若b2-4ac≥0,则把a,b,c和b-4ac的值代入公式即可求解,若b2-4ac<0,则方程无实数根(有虚数根--高中学)。
知识点二一元二次方程根的判别式
式子b2-4ac叫做方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式,通常用希腊字母△表示它,
即△=b2-4ac.
△>0,方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根
根的
判别式
△=0,方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根
△<0,方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实数根
21.2.3因式分解法
知识点一因式分解法解一元二次方程
(1)把一元二次方程的一边化为0,而另一边分解成两个一次因式的积,进而转化为求两个求一元一次方程的解,这种解方程的方法叫做因式分解法。
(2)因式分解法的详细步骤:
①移项,将所有的项都移到左边,右边化为0;
②把方程的左边分解成两个因式的积,可用的方法有提公因式、平方差公式和完全平方公式;
③令每一个因式分别为零,得到一元一次方程;
④解一元一次方程即可得到原方程的解。
知识点二用合适的方法解一元一次方程
方法名称
理论依据
适用范围
直接开平方法
平方根的意义
形如x2=p或(mx+n)2=p(p≥0)
配方法
完全平方公式
所有一元二次方程
公式法
因式分解法
当ab=0,则a=0或b=0
一边为0,另一边易于分解成两个一次因式的积的一元二次方程。
21.2.4一元二次方程的根与系数的关系
若一元二次方程x2+px+q=0的两个根为x1,x2,则有x1+x2=-p,x1x2=q.
若一元二次方程a2x+bx+c=0(a≠0)有两个实数根x1,x2,则有x1+x2=,,x1x2=
21.3实际问题与一元二次方程
知识点一列一元二次方程解应用题的一般步骤:
(1)审:
是指读懂题目,弄清题意,明确哪些是已知量,哪些是未知量以及它们之间的等量关系。
(2)设:
是指设元,也就是设出未知数。
(3)列:
就是列方程,这是关键步骤,一般先找出能够表达应用题全部含义的一个相等含义,然后列代数式表示这个相等关系中的各个量,就得到含有未知数的等式,即方程。
(4)解:
就是解方程,求出未知数的值。
(5)验:
是指检验方程的解是否保证实际问题有意义,符合题意。
(6)答:
写出答案。
知识点二列一元二次方程解应用题的几种常见类型
(1)数字问题
三个连续整数:
若设中间的一个数为x,则另两个数分别为x-1,x+1。
三个连续偶数(奇数):
若中间的一个数为x,则另两个数分别为x-2,x+2。
三位数的表示方法:
设百位、十位、个位上的数字分别为a,b,c,则这个三位数是100a+10b+c.
(2)增长率问题
设初始量为a,终止量为b,平均增长率或平均降低率为x,则经过两次的增长或降低
后的等量关系为a
(1)2=b。
(3)利润问题
利润问题常用的相等关系式有:
①总利润=总销售价-总成本;
②总利润=单位利润×
总销
售量;
③利润=成本×
利润率
(4)图形的面积问题
根据图形的面积与图形的边、高等相关元素的关系,将图形的面积用含有未知数的代数
式表示出来,建立一元二次方程。
22.二次函数知识点归纳
一、相关概念及定义
1二次函数的概念:
一般地,形如(是常数,)的函数,叫做二次函数。
这里需要强调:
和一元二次方程类似,二次项系数,而可以为零.二次函数的定义域是全体实数.
2二次函数的结构特征:
(1)等号左边是函数,右边是关于自变量的二次式,的最高次数是2.
(2)是常数,是二次项系数,是一次项系数,是常数项.
二、二次函数各种形式之间的变换
1二次函数用配方法可化成:
的形式,其中.
2二次函数由特殊到一般,可分为以下几种形式:
①;
②;
③;
④;
⑤.
三、二次函数解析式的表示方法
1一般式:
(,,为常数,);
2顶点式:
3两根式:
(,,是抛物线与轴两交点的横坐标).
4注意:
任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非所有的二次函数都可以写成交点式,只有抛物线与轴有交点,即时,抛物线的解析式才可以用交点式表示.二次函数解析式的这三种形式可以互化.
四、二次函数图象的画法
1五点绘图法:
利用配方法将二次函数化为顶点式,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为:
顶点、与轴的交点、以及关于对称轴对称的点、与轴的交点,(若与轴没有交点,则取两组关于对称轴对称的点).
2画草图时应抓住以下几点:
开口方向,对称轴,顶点,与轴的交点,与轴的交点.
五、二次函数的性质
的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
向上
轴
时,随的增大而增大;
时,随的增大而减小;
时,有最小值.
向下
时,有最大值.
六、二次函数的性质
七、二次函数的性质:
X=h
八、二次函数的性质
九、抛物线的三要素:
开口方向、对称轴、顶点.
1的符号决定抛物线的开口方向:
当时,开口向上;
当时,开口向下;
相等,抛物线的开口大小、形状相同.
2对称轴:
平行于轴(或重合)的直线记作.特别地,轴记作直线.
3顶点坐标:
4顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数,如果二次项系数相同,那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同,只是顶点的位置不同.
十、抛物线中,与函数图像的关系
1二次项系数
二次函数中,作为二次项系数,显然.
⑴当时,抛物线开口向上,越大,开口越小,反之的值越小,开口越大;
⑵当时,抛物线开口向下,越小,开口越小,反之的值越大,开口越大.
总结起来,决定了抛物线开口的大小和方向,的正负决定开口方向,的大小决定开口的大小.
2一次项系数
在二次项系数确定的前提下,决定了抛物线的对称轴.
⑴在的前提下,
当时,,即抛物线的对称轴在轴左侧;
当时,,即抛物线的对称轴就是轴;
当时,,即抛物线对称轴在轴的右侧.
⑵在的前提下,结论刚好与上述相反,即
当时,,即抛物线的对称轴在轴右侧;
当时,,即抛物线对称轴在轴的左侧.
总结起来,在确定的前提下,决定了抛物线对称轴的位置.
总结:
3常数项
⑴当时,抛物线与轴的交点在轴上方,即抛物线与轴交点的纵坐标为正;
⑵当时,抛物线与轴的交点为坐标原点,即抛物线与轴交点的纵坐标为;
⑶当时,抛物线与轴的交点在轴下方,即抛物线与轴交点的纵坐标为负.
总结起来,决定了抛物线与轴交点的位置.
总之,只要都确定,那么这条抛物线就是唯一确定的.
十一、求抛物线的顶点、对称轴的方法
1公式法:
,∴顶点是,对称轴是直线.
2配方法:
运用配方的方法,将抛物线的解析式化为的形式,得到顶点为(,),对称轴是直线.
3运用抛物线的对称性:
由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形,所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴,对称轴与抛物线的交点是顶点.
用配方法求得的顶点,再用公式法或对称性进行验证,才能做到万无一失.
十二、用待定系数法求二次函数的解析式
1一般式:
.已知图像上三点或三对、的值,通常选择一般式.
2顶点式:
.已知图像的顶点或对称轴,通常选择顶点式.
3交点式:
已知图像与轴的交点坐标、,通常选用交点式:
.
十三、直线与抛物线的
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