普通高等学校招生全国统一考试四川卷理科数学试题及解答WORD版Word格式.doc
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2.复数的虚部为
(A)3(B)-3(C)2(D)-2.
3.已知下面结论正确的是
(A)f(x)在x=1处连续(B)f
(1)=5(C)(D)
4.已知二面角的大小为,
5.下列函数中,图像的一部分如右图所示的是
(A)(B)
(C)(D)
6.已知两定点如果动点P满足条件则点P的轨迹所包围的图形的面积等于
7.如图,已知正六边形,下列向量的数量积中最大的是
8.某厂生产甲产品每千克需用原料A和原料B分别为千克,生产乙产品每千克需用原料A和原料B分别为千克。
甲、乙产品每千克可获利润分别为元。
月初一次性购进本月用原料A、B各千克。
要计划本月生产甲、乙两种产品各多少千克才能使月利润总额达到最大。
在这个问题中,设全月生产甲、乙两种产品分别为x千克、y千克,月利润总额为z元,那么,用于求使总利润最大的数学模型中,约束条件为
9.直线y=x-3与抛物线交于A、B两点,过A、B两点向抛物线的准线作垂线,垂足分别为P、Q ,则梯形APQB的面积为
(A)48(B)56(C)64(D)72.
10.已知球O半径为1,A、B、C三点都在球面上,A、B两点和A、C两点的球面距离都是,B、C两点的球面距离是,则二面角的大小是
11.设分别为的三内角所对的边,则是的
(A)充要条件(B)充分而不必要条件(C)必要而不充分条件(D)既不充分也不必要条件12.从0到9这10个数字中任取3个数字组成一个没有重复数字的三位数,这个数不能被3整除的概率为
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题:
本大题共4小题,每小题4分,共16分。
把答案填在题中横线上。
13.在三棱锥O-ABC中,三条棱OA、OB、OC两两互相垂直,且OA=OB=OC,M是AB的中点,则OM与平面ABC所成角的大小是______________(用反三角函数表示)。
14.设离散型随机变量ξ可能取的值为1,2,3,4.P(ξ=k)=ak+b(k=1,2,3,4),又ξ的数学期望Eξ=3,则a+b=______________。
15.如图把椭圆的长轴AB分成8分,过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于,,……七个点,F是椭圆的一个焦点,则____________.
16.非空集合G关于运算满足:
(1)对任意的都有
(2)存在都有则称G关于运算为“融洽集”。
现给出下列集合和运算:
①G={非负整数},为整数的加法。
②G={偶数},为整数的乘法。
③G={平面向量},为平面向量的加法。
④G={二次三项式},为多项式的加法。
⑤G={虚数},为复数的乘法。
其中G关于运算为“融洽集”的是________。
(写出所有“融洽集”的序号)
三.解答题共6个小题,共74分,解答时应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分12分)
已知A、B、C是三内角,向量
且
(Ⅰ)求角A
(Ⅱ)若
18.(本小题满分12分)
某课程考核分理论与实验两部分进行,每部分考核成绩只记“合格”与“不合格”,两部分考核都“合格”则该课程考核“合格”。
甲、乙、丙三人在理论考核中合格的概率分别为0.9、0.8、0.7;
在实验考核中合格的概率分别为0.8、0.7、0.9。
所有考核是否合格相互之间没有影响。
(Ⅰ)求甲、乙、丙三人在理论考核中至少有两人合格的概率;
(Ⅱ)求这三人该课程考核都合格的概率(结果保留三位小数)。
19.(本小题满分12分)
如图,长方体ABCD-中,E、P分别是BC、的中点,
M、N分别是AE、的中点,
(Ⅰ)求证:
;
(Ⅱ)求二面角的大小;
(Ⅲ)求三棱锥P-DEN的体积。
20.(本小题满分12分)
已知数列,其中记数列的
前n项和为数列的前n项和为
(Ⅰ)求;
(Ⅱ)设(其中为的导函数),
计算
21.(本小题满分12分)
已知两定点满足条件的点P的轨迹是曲线E,直线y=kx-1与曲线E交于A、B两点。
如果且曲线E上存在点C,使求。
22.(本小题满分14分)
已知函数f(x)的导函数是。
对任意两个不相等的正数,证明:
(Ⅰ)当时,;
(Ⅱ)当时,。
2006年普通高等学校招生全国统一考试
(四川卷)理科数学及参考答案
一.选择题:
本大题共12小题,每小题5分,共60分;
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
D
B
A
二.填空题:
本大题共4小题,每小题4分,共16分;
把答案填在题中的横线上。
(13);
(14);
(15);
(16)①,③
三.解答题:
本大题共6小题,共74分;
解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
(17)本小题主要考察三角函数概念、同角三角函数的关系、两角和与差的三角函数的公式以及倍角公式,考察应用、分析和计算能力。
满分12分。
解:
(Ⅰ)∵∴即
∵∴∴
(Ⅱ)由题知,整理得
∴∴
∴或
而使,舍去∴
∴
(18)(本大题满分12分)
本小题主要考察相互独立事件、互斥事件、对立事件等概率的计算方法,考察应用概率知识解决实际问题的能力。
记“甲理论考核合格”为事件;
“乙理论考核合格”为事件;
“丙理论考核合格”为事件;
记为的对立事件,;
记“甲实验考核合格”为事件;
“乙实验考核合格”为事件;
“丙实验考核合格”为事件;
(Ⅰ)记“理论考核中至少有两人合格”为事件,记为的对立事件
解法1:
解法2:
所以,理论考核中至少有两人合格的概率为
(Ⅱ)记“三人该课程考核都合格”为事件
所以,这三人该课程考核都合格的概率为
(19)(本大题满分12分)
本小题主要考察长方体的概念、直线和平面、平面和平面的关系等基础知识,以及空间想象能力和推理能力。
满分12分
解法一:
(Ⅰ)证明:
取的中点,连结
∵分别为的中点
∵
∴面,面
∴面面∴面
(Ⅱ)设为的中点
∵为的中点∴∴面
作,交于,连结,则由三垂线定理得
从而为二面角的平面角。
在中,,从而
在中,
故:
二面角的大小为
(Ⅲ)
作,交于,由面得
∴面
∴在中,
方法二:
以为原点,所在直线分别为轴,轴,轴,建立直角坐标系,则
∵分别是的中点
(Ⅰ)
取,显然面
,∴
又面∴面
(Ⅱ)过作,交于,取的中点,则∵
设,则
又
由,及在直线上,可得:
解得
∴∴即
∴与所夹的角等于二面角的大小
(Ⅲ)设为平面的法向量,则
∴即∴可取
∴点到平面的距离为
∵,
(20)(本大题满分12分)
本小题主要考察等差数列、等比数列的基础知识,以及对数运算、导数运算和极限运算的能力,同时考查分类讨论的思想方法,满分12分。
(Ⅰ)由题意,是首项为,公差为的等差数列
前项和,
(Ⅱ)
(21)(本大题满分14分)
本小题主要考察双曲线的定义和性质、直线与双曲线的关系、点到直线的距离等知识及解析几何的基本思想、方法和综合解决问题的能力。
由双曲线的定义可知,曲线是以为焦点的双曲线的左支,
且,易知
故曲线的方程为
设,由题意建立方程组
消去,得
又已知直线与双曲线左支交于两点,有
又∵
依题意得整理后得
∴或但∴
故直线的方程为
设,由已知,得
∴,
又,
∴点
将点的坐标代入曲线的方程,得
得,但当时,所得的点在双曲线的右支上,不合题意
∴,点的坐标为
到的距离为
∴的面积
(22)(本大题满分14分)
本小题主要考查导数的基本性质和应用,函数的性质和平均值不等式等知识及综合分析、推理论证的能力,满分14分。
证明:
(Ⅰ)由
得
而①
∴②
∵∴
∵∴③
由①、②、③得
即
(Ⅱ)证法一:
由,得
下面证明对任意两个不相等的正数,有恒成立
即证成立
令得,列表如下:
极小值
∴对任意两个不相等的正数,恒有
证法二:
∵是两个不相等的正数
设,
则,列表:
∴即
即对任意两个不相等的正数,恒有
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