平面与平面垂直的判定与性质2.6Word格式文档下载.doc
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作二面角的平面角常用下列三种方法:
①用定义作二面角的平面角—在棱上取一点,分别在两个面内作棱的垂线,这两条射线组成二面角的平面角。
利用定义作二面角的平面角,关键在于找棱及棱上的特殊点。
学习时要特别注意平移和补形方法的灵活运用。
②用三垂线定理作二面角的平面角—从二面角的一个面内选一个特殊点A,由A向另一个平面作垂线垂足为B,再由B向棱作垂线交棱于C,连结AC,则∠ACB就是二面角的平面角。
利用三垂线定理(逆定理)作二面角的平面角是最常用的方法,它是通过二面角一个面上的点向另一个面(基面)作垂线(主垂线)的办法来实现的,因此选好基面,再作主垂线,主垂线是解题的关键。
③用垂面法作二面角的平面角—作垂直于二面角的棱或二面角两个半平面的垂面,则该垂面与二面角两个半平面交线所成的角就是二面角的平面角。
(2)面积法—如果一个多边形在一个平面内的射影是一个多边形,且这两个多边形所在平面所成的二面角为θ,则。
3二面角的平面角
如图
(1)在二面角的棱l上任取一点O,以点O为垂足,在半平面和内分别作垂直于棱l的射线OA和OB,则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角.
(2)二面角的平面角的大小与O点位置无关.
(3)二面角的平面角的范围是[0,180°
]
(4)平面角为直角的二面角叫做直二面角.
[例1]如图,PC⊥平面ABC,AB=BC=CA=PC,求二面角B-PA-C的平面角的正切值.
分析由PC⊥平面ABC,知平面ABC⊥平面PAC,从而B在平面PAC上的射影在AC上,由此可用三垂线定理作出二面角的平面角.
解
∵PC⊥平面ABC
∴平面PAC⊥平面ABC,交线为AC作BD⊥AC于D点,据面面垂直性质定理,BD⊥平面PAC,作DE⊥PA于E,连BE,据三垂线定理,则BE⊥PA,从而∠BED是二面角B-PA-C的平面角.
设PC=a,依题意知三角形ABC是边长为a的正三角形,
[例1]如图过正方形ABCD的顶点A作PA⊥平面ABCD,设PA=AB=a求
(1)二面角B-PC-D的大小;
(2)平面PAB和平面PCD所成二面角的大小.
分析二面角B-PC-D的棱为PC,所以找平面角作棱的垂线,而平面PAB和平面PCD所成二面角“无棱”须找二面角的棱.
(1)∵PA⊥平面ABCD,BD⊥AC
∴BD⊥PC(三垂线定理)
在平面PBC内,作BE⊥PC,E为垂足,连结DE,得PC⊥平面BED,从而DE⊥PC,即∠BED是二面角B-PC-D的平面角.
在Rt△PAB中,由PA=AB=a
(2)过P作PQ∥AB,则PQ平面PAB,
∵AB∥CD∴PQ∥CD,PQ平面PCD
∴平面PAB∩平面PCD于PQ
∵PA⊥AB,AB∥PQ∴PA⊥PQ
∵PA⊥平面ABCD,CD⊥AD
∴CD⊥PD(三垂线定理的逆定理)
∵PQ∥CD∴PD⊥PQ
所以∠APD是平面PAB和平面PCD所成的二面角的平面角.
∵PA=AB=AD,∴∠APD=45°
即平面PAB和平面PCD所成的二面角为45°
.
评注在求无棱二面角的大小时有时须作出棱线后再找平面角
要点二、平面与平面垂直的判定
1.平面与平面垂直的定义,记法与画法.
一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直.
两个互相垂直的平面通常画成此图的样子,此时,把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直.平面与垂直,记作⊥.
2.两个平面互相垂直的判定定理:
一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直.
[例3]过S引三条长度相等但不共面的线段SA、SB、SC,且∠ASB=∠ASC=60°
,∠BSC=90°
。
求证:
平面ABC⊥平面BSC。
证法一:
作AD⊥平面BSC,D为垂足。
∵∠ASB=∠ASC=60°
,SA=SB=SC,则AS=AB=AC,
∴D为△BSC的外心。
又∠BSC=90°
,
∴D为BC的中点,即AD在平面ABC内。
∴平面ABC⊥平面BSC。
证法二:
取BC的中点D,连接AD、SD,易证AD⊥BC,又△ABS是正三角形,△BSC为等腰直角三角形,
∴BD=SD∴AD2+SD2=AD2+BD2=AB2=AS2,由勾股定理的逆定理,知AD⊥SD,
∴AD⊥平面BSC。
又AD平面ABC,
评注本题是证明面面垂直的典型例题,关键是将证明“面面垂直”问题转化为证明“线面垂直”。
方法一是作平面的垂线而后证明它在另一个平面内;
方法二则是在一个平面内找一条线段,证明它与另一个平面垂直。
[例3]已知:
如图,在矩形ABCD中,已知,E是AD的中点,沿BE将△ABE折起至△A´
BE的位置,使A´
C=A´
D。
(1)求证:
平面A´
BE⊥平面BCDE;
(2)求A´
C和平面BCD所成角的大小。
要点三.两个平面垂直的性质
两个平面互相垂直时有下面两个性质:
1如果两个平面垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。
简述为:
“若面面垂直,则线面垂直”。
2那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线,在第一个平面内。
此性质可以作为面面垂直的性质定理直接应用
例3如图,AB是⊙O的直径,PA垂直于⊙O所在的平面,C是圆周上不同于A、B的任意一点,求证:
平面PAC⊥平面PBC.
证明:
设⊙O所在平面为,由已知条件,
PA⊥,BC在内,
所以PA⊥BC.
因为点C是圆周上不同于A、B的任意一点,AB是⊙O的直径,
所以,∠BCA是直角,即BC⊥AC.
又因为PA与AC是△PAC所在平面内的两条直线.
所以BC⊥平面PAC.
又因为BC在平面PBC内,
所以,平面PAC⊥平面PBC.
1.正方体ABCD-A1B1C1D1中,平面ABC1D1与正方体的其他各个面所成的二面角的大小分别为多少?
()
2.如图,已知AB⊥平面BCD,BC⊥CD,你能发现哪些平面互相垂直,为什么?
答:
面ABC⊥面BCD
面ABD⊥面BCD
面ACD⊥面A
1.下列命题中正确的是。
①如果直线与平面α内的无数条直线垂直,则⊥α;
②如果直线不垂直于α,则α内没有与垂直的直线;
③如果直线不垂直于α,则α内也可以有无数条直线与垂直;
④两直线a,b平行,由a⊥α可得出b⊥α。
2.如右图,PA⊥平面ABC,BC⊥AC,求证:
A
C
B
D
A1
C1
B1
3.如右图所示,在三棱柱中,平面,
,是的中点。
求证:
平面。
4.已知正四面体ABCD中,各棱长均为2,E为AD的中点。
(1)求AD与平面BCD所成的角的正弦值;
(2)求EC与平面BCD所成的角的正弦值大小。
(提示:
作BC中点F,找到底面的重心O)
心在那里新的希望就在那里
5.如右图,正方形所在平面且,分别是的中点。
(1)求证:
平面;
(2)求与平面所成角的大小。
(3)求证:
;
(4)求证:
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- 平面 垂直 判定 性质 2.6