平行四边形典型问题分类解析Word文件下载.doc

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分析：

根据平行四边形的性质，不仅对角相等，而且相邻角的角也互补，这就为证明垂直提供了充分的条件．又有已知中AB=2BC和M为AB的中点，可以得到相等的角．其中有内错角相等，也有等边对等角性质的应用，使∠CDM＋∠DCM=，可使问题得到解决．

证明：

在平行四边形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，

A

M

D

B

C

例1图

∴∠AMD=∠CDM，∠BMC=∠DCM，

∵AB=2BC，M是AB的中点，∴AD=AM=BM=BC．

∴∠ADM=∠AMD，∠BMC=∠BCM

∴∠ADM=∠CDM，∠BCM=∠DCM，

∴∠CDM=∠ADC，∠DCM=∠BCD．

又∠ADC＋∠BCD=，∴∠CDM＋∠DCM=，即∠DMC=．

∴CM⊥DM．

评析：

本题通过利用平行四边形和等腰三角形的性质，证明了CM、DM所在的三角形两锐角互余，由三角形内角和定理得出∠DMC=，从而得到结论．这是证明两线段互相垂直的常用方法．

O

F

E

例2图

2．证明线段平行

例2如图，AB、CD交于点O，AC∥DB，AO=BO，E、F分别为OC、OD的中点，连结AF、BE．求证：

AF∥BE．

从已知条件可证△AOC≌△BOD，得到OC=OD，又有E、F为OC、OD中点，则OE=OF，判定四边形AFBE为平行四边形，即有AF∥BE．

连结BF、AE，∵AC∥DB，∴∠C=∠D．

在△AOC和△BOD中，有

∴△AOC≌△BOD，∴OC=OD．

又E、F为OC、OD的中点，∴OE=OF，

∴四边形AFBE是平行四边形，

∴AF∥BE．

学习了平行四边形以后，又多了一种证明平行线的方法．

3．证明线段相等

例3如图，△ABC中，AB=AC，P是BC上的一点，PE∥AC，PF∥AB，分别交AB、AC于E、F，请猜出线段PE、PF、AB之间存在什么关系，并证明你的猜想．

P

例3图

从已知条件中不难证明PF=AE，PE=BE，从而PE、PF、AB之间满则关系式PE＋PF=AB．即猜想结论：

PE＋PF=AB．

∵PE∥AC，∴∠BPE=∠C．

∵AB=AC，∴∠B=∠C，

∴∠BPE=∠B，∴PE=BE．

PE∥AC，PF∥AB，

∴四边形AEPF是平行四边形，∴PF=AE．

∵BE＋AE=AB，∴PE＋PF=AB．

在解决此类探索性问题时，一般通过对已知条件的分析、比较、概括探索出结论，这就是对猜想问题的常用解题思路．

4．求线段的长度

例4如图，在四边形ABCD中，AB=6，BC=8，∠A=，∠B=，∠C=，求AD的长．

例4图

要求AD的长度，需要借助辅助线把问题转化，由∠A和∠B的关系可以判定AD∥BC，这样不妨过点C作AB的平行线，构成一个平行四边形，然后利用角之间的关系与平行四边形的性质，使问题得以解决．

解：

点C作CE∥AB交AD于E，

∵∠A＋∠B=，∴AD∥BC，

∴四边形ABCE是平行四边形．

∴AE=BC=8，CE=AB=6，∠BCE=∠A=．

又∵∠BCD=，∴∠DCE=．

而∠D=－－－=，

∴∠D=∠DCE=，∴DE=CE，

∴AD=8＋6=14．

在判定AD∥BC后，辅助线的添加是解题的关键，虽然辅助线的添加在解题时没有一定规律可循，但可以通过分析已知条件与待求结论，从中得到启发，从而正确地作出辅助线．