多边形及其内角和讲义(老师用)文档格式.doc
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只用一种正多边形:
3、4、6/。
镶嵌 拼成360度的角
只用一种非正多边形(全等):
3、4。
知识点一:
多边形及有关概念
1、多边形的定义:
在同一平面内。
多边形的分类:
不叫三边形
2、镶嵌:
用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖,通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面(或平面镶嵌)。
这里的多边形可以形状相同,也可以形状不相同。
实现镶嵌的条件:
拼接在同一点的各个角的和恰好等于360°
;
相邻的多边形有公共边。
3、常见的一些正多边形的镶嵌问题:
(1)用正多边形实现镶嵌的条件:
边长相等;
顶点公用;
在一个顶点处各正多边形的内角之和为360°
(2)只用一种正多边形镶嵌地面:
只有正三角形、正方形、正六边形的地砖可以用。
注意:
任意四边形的内角和都等于360°
所以用一批形状、大小完全相同但不规则的四边形地砖也可以铺成无空隙的地板,用任意相同的三角形也可以铺满地面。
(3)用两种或两种以上的正多边形镶嵌地面
用两种或两种以上边长相等的正多边形组合成平面图形,关键是相关正多边形“交接处各角之和能否拼成一个周角”的问题。
例如,用正三角形与正方形、正三角形与正六边形、正三角形与正十二边形、正四边形与正八边形都可以作平面镶嵌,见下图:
又如,用一个正三角形、两个正方形、一个正六边形结合在一起恰好能够铺满地面,因为它们的交接处各角之和恰好为一个周角360°
规律方法指导
1.内角和与边数成正比:
边数增加,内角和增加;
边数减少,内角和减少.每增加一条边,内角的和
就增加180°
(反过来也成立),且多边形的内角和必须是180°
的整数倍.
2.多边形外角和恒等于360°
,与边数的多少无关.
3.多边形最多有三个内角为锐角,最少没有锐角(如矩形);
多边形的外角中最多有三个钝角,最少
没有钝角.
4.在运用多边形的内角和公式与外角的性质求值时,常与方程思想相结合,运用方程思想是解决本节
问题的常用方法.
5.在解决多边形的内角和问题时,通常转化为与三角形相关的角来解决.三角形是一种基本图形,是
研究复杂图形的基础,同时注意转化思想在数学中的应用.
第二部分经典习题
类型一:
多边形内角和及外角和定理应用
1.一个多边形的内角和等于它的外角和的5倍,它是几边形?
总结升华:
本题是多边形的内角和定理和外角和定理的综合运用.只要设出边数,根据条件列出关于的方程,求出的值即可,这是一种常用的解题思路.
举一反三:
【变式1】若一个多边形的内角和与外角和的总度数为1800°
,求这个多边形的边数.
【
【变式2】一个多边形除了一个内角外,其余各内角和为2750°
,求这个多边形的内角和是多少?
【答案】设这个多边形的边数为,这个内角为,
.
【变式3】个多边形的内角和与某一个外角的度数总和为1350°
,求这个多边形的边数。
类型二:
多边形对角线公式的运用
2.某校七年级六班举行篮球比赛,比赛采用单循环积分制(即每两个班都进行一次比赛).你能算出一共需要进行多少场比赛吗?
思路点拨:
本题体现与体育学科的综合,解题方法参照多边形对角线条数的求法,即多边形的对角线条数加上边数.如图:
总结升华:
对于其他学科问题要善于把它与数学知识联系在一起,便于解决.
【变式1】一个多边形共有20条对角线,则多边形的边数是().
A.6 B.7 C.8 D.9
【变式2】一个十二边形有几条对角线。
总结升华:
对于一个n边形的对角线的条数,我们可以总结出规律条,牢记这个公式,以后只要用相应的n的值代入即可求出对角线的条数,要记住这个公式只有在理解的基础之上才能记得牢。
类型三:
可转化为多边形内角和问题
3.如图,求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数.
思路点拨:
设法将这几个角转移到一个多边形中,然后利用多边形内角和公式求解.
本题通过作辅助线,把∠A与∠G的和转化为∠1与∠2的和,从而把问题变为求五边形的内角和运算,“转化思想”是解决本题的关键.
【变式1】如图所示,∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=__________.
类型四:
实际应用题
4.如图,一辆小汽车从P市出发,先到B市,再到C市,再到A市,最后返回P市,这辆小汽车共转了多少度角?
根据多边形的外角和定理解决.
解析:
如图,
旋转的角度是指原来前进的方向与转弯后的方向的夹角.小汽车沿任意多边形行驶一周回到原处,转过的角度都是360
举一反三:
【变式1】如图所示,小亮从A点出发前进10m,向右转15°
,再前进10m,又向右转15°
,…,这样一直走下去,当他第一次回到出发点时,一共走了__________m.
【变式2】小华从点A出发向前走10米,向右转36°
,然后继续向前走10米,再向右转36°
,他以同样的方法继续走下去,他能回到点A吗?
若能,当他走回点A时共走了多少米?
若不能,写出理由。
【变式3】如图所示是某厂生产的一块模板,已知该模板的边AB∥CF,CD∥AE.按规定AB、CD的延长线相交成80°
角,因交点不在模板上,不便测量.这时师傅告诉徒弟只需测一个角,便知道AB、CD的延长线的夹角是否合乎规定,你知道需测哪一个角吗?
说明理由.
本题中将AB、CD延长后会得到一个五边形,根据五边形内角和为540°
,又由AB∥CF,CD∥AE,可知∠BAE+∠AEF+∠EFC=360°
,从540°
中减去80°
再减去360°
,剩下∠C的度数为100°
,所以只需测∠C的度数即可,同理还可直接测∠A的度数.
本题实际上是多边形内角和的逆运算,关键在于正确添加辅助线.
类型五:
镶嵌问题
5.分别画出用相同边长的下列正多边形组合铺满地面的设计图。
(1)正方形和正八边形;
(2)正三角形和正十二边形;
(3)正三角形、正方形和正六边形。
只要在拼接处各多边形的内角的和能构成一个周角,那么这些多边形就能作平面镶嵌。
正三角形、正方形、正六边形、正八边形、正十二边形的每一个内角分别是60°
、90°
、120°
、135°
、150°
(1)因为90+2×
135=360,所以一个顶点处有1个正方形、2个正八边形,如图
(1)所示。
(2)因为60+2×
150=360,所以一个顶点处有1个正三角形、2个正十二边形,如图
(2)所示。
(3)因为60+2×
90+120=360,所以一个顶点处有1个正三角形、1个正六边形和2个正方形,如图(3)
所示。
用两种以上边长相等的正多边形组合成平面图形,实质上是相关正多边形“交接处各角之和能否拼成一个周角”的问题。
【变式1】分别用形状、大小完全相同的①三角形木板;
②四边形木板;
③正五边形木板;
④正六边形木板作平面镶嵌,其中不能镶嵌成地板的是()A、① B、② C、③ D、④
用同一种多边形木板铺地面,只有正三角形、四边形、正六边形的木板可以用,不能用正五边形木板,故
【变式2】用三块正多边形的木板铺地,拼在一起并相交于一点的各边完全吻合,其中两块木板的边数都是8,则第三块木板的边数应是()
A、4 B、5 C、6 D、8
【答案】A (提示:
先算出正八边形一个内角的度数,再乘以2,然后用360°
减去刚才得到的积,便得到第三块木板一个内角的度数,进而得到第三块木板的边数)
7.3多边形及其内角和
(请在50分钟内完成,按考试要求自己)
一、选择题:
(每小题3分,共24分)
1.一个多边形的外角中,钝角的个数不可能是()毛A.1个B.2个C.3个D.4个
2.不能作为正多边形的内角的度数的是()A.120B.(108)°
C.144D.145°
3.若一个多边形的各内角都相等,则一个内角与一个外角的度数之比不可能是()
A.2:
1B.1:
1C.5:
2D.5:
4
4.一个多边形的内角中,锐角的个数最多有()A.3个B.4个C.5个D.6个
5.四边形中,如果有一组对角都是直角,那么另一组对角可能()
A.都是钝角;
B.都是锐角
C.是一个锐角、一个钝角D.是一个锐角、一个直角
6.若从一个多边形的一个顶点出发,最多可以引10条对角线,则它是()
A.十三边形B.十二边形C.十一边形D.十边形
7.若一个多边形共有十四条对角线,则它是()
A.六边形B.七边形C.八边形D.九边形
8.若一个多边形除了一个内角外,其余各内角之和为2570°
则这个内角的度数为()A.90°
B.105°
C.130°
D.120°
二、填空题:
(每小题3分,共15分)
1.多边形的内角中,最多有________个直角.
2.从n边形的一个顶点出发,最多可以引______条对角线,这些对角线可以将这个多边形分成________个三角形.
3.如果一个多边形的每一个内角都相等,且每一个内角都大于135°
那么这个多边形的边数最少为________.
4.已知一个多边形的每一个外角都相等,一个内角与一个外角的度数之比为9:
2,则这个多边形的边数为_________.
5.每个内角都为144°
的多边形为_________边形.
三、基础训练:
(每小题12分,共24分)
1.如图所示,用火柴杆摆出一系列
三角形图案,按这种方式摆下去,
当摆到20层(n=20)时,需要多少
根火柴?
2.一个多边形的每一个外角都等于24°
求这个多边形的边数.
四、提高训练:
(共15分)
一个多边形的每一个内角都相等,一个内角与一个外角的度数之比为m:
n,其中m,n是互质的正整数,求这个多边形的边数(用m,n
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