图形变换共顶点旋转.习题集(2014-2015)Word格式文档下载.doc
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∴.
课堂练习
一、旋转的概念和性质
【例3】下图中,不是旋转对称图形的是().
【例4】有下列四个说法,其中正确说法的个数是().
①图形旋转时,位置保持不变的点只有旋转中心;
②图形旋转时,图形上的每一个点都绕着旋转中心旋转了相同的角度;
③图形旋转时,对应点与旋转中心的距离相等;
④图形旋转时,对应线段相等,对应角相等,图形的形状和大小都没有发生变化
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【例5】如图,若正方形DCEF旋转后能与正方形ABCD重合,则图形所在平面内可作为旋转中心的点共有()个.
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】本题很多考生容易做错,将答案选为,认为只有两个旋转点,但是一定要注意边的中点也是一个旋转点,所以应该有3个旋转点.
【例6】如图,这是一个正面为黑,反面为白的未拼完的拼木盘,给出如下四块正面为黑、反面为白的拼木,现欲拼满拼木盘并使其颜色一致,请问应选择的拼木是()
A. B. C. D.
【解析】将所给的拼木分别尝试拼接或由拼木盘观察,直接选出拼木.A、C和D旋转之后都不能与图形拼满,B旋转180°
后可得出与图形相同的形状,故选B.
【例7】已知:
如图,若线段CD是由线段AB经过旋转变换得到的.
求作:
旋转中心O点.
【答案】分两类:
(1)A与C是对应点.
(2)B与C是对应点,对
(1)的作法:
首先,连结AC,作线段AC的垂直平分线l1;
其次,连结BD,作线段BD的垂直平分线l2,与l1交于O点,则O点为所求.
同理可作出
(2)的O′选点.
【解析】采用旋转的作图方法和旋转的性质进行解题.
【例8】如图,在平面直角坐标系中,顶点的横、纵坐标都是整数.若将以某点为旋转中心,顺时针旋转得到,则旋转中心的坐标是().
A. B. C.D.
(2014西城期末)
【答案】C
【解析】旋转中心为对应顶点连线的垂直平分线,故选C.
【例9】实验操作
(1)如图,在平面直角坐标系中,的顶点的横、纵坐标都是整数,若将以点为旋转中心,按顺时针方向旋转得到,请在坐标系中画出点及;
(2)如图,在菱形网格图(最小的菱形的边长为,且有一个内角为)中有一个等边,它的顶点、、都落在格点上,若将以点为旋转中心,按顺时针方向旋转得到,请在菱形网格图中画出.其中,点旋转到点所经过的路线长为__________.
图1图2
(2014石景山一模)
(1)画出点,画出.
(2)如图所示:
旋转到点所经过的路线长为.
二、中心对称
【例10】下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是().
A. B. C. D.
(2014昌平一模)
【例11】下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是().
(2014海淀一模)
【例12】有五张形状、大小、质地都相同的卡片,上面分别画有下列图形:
①正方形;
②正三角形;
③平行四边形;
④等腰梯形;
⑤圆.将卡片背面朝上洗匀,从中随机抽取一张,正面图形既是轴对称图形,又是中心对称图形的概率是().
(2014东城一模)
【答案】B
【例13】已知:
如图,四边形ABCD与四边形EFGH成中心对称,试画出它们的对称中心,并简要说明理由.
【解析】根据中心对称的性质,分别连结CG、BF,则它们的交点O为两四边形的对称中心.其理由是关于中心对称的两个图形,对称点所连线段都经过对称中心,而CG、BF两线段不共线,所以它们的交点即为对称中心.
三、共顶点旋转之全等
【例14】如图,点为线段上一点,、是等边三角形,是中点,是中点,求证:
是等边三角形.
【答案】∵,∴,
又∵、分别是、的中点,
∴,∴,
∴
∴是等边三角形
【例15】在等边中,于点.
(1)如图,请你直接写出线段与之间的数量关系:
__________;
(2)如图,若是线段上一个动点(点不与点、重合),连结,将线段绕点逆时针旋转,得到线段,连结,猜想线段、、之间的数量关系,并证明你的结论;
(3)如图,若点是线段延长线上一个动点,()中的其他条件不变,按照()中的作法,请在图中补全图形,并直接写出线段、、之间的数量关系.
(2014大兴一模)
(1).
(2).
理由如下:
∵线段绕点逆时针旋转,得到线段,
∴,,
∵等边三角形,
在和中
,
(3)如图,.
【例16】已知:
等边中,点、、分别为边、、的中点,点在直线上,以点为旋转中心,将线段顺时针旋转至,连接.
(1)如图,当点在点侧时,线段与的数量关系是__________;
(2)如图,当点在边上时,()中的结论是否依然成立?
如果成立,请利用图证明,如果不成立,请说明理由;
(3)当点在点右侧时,请你在图中画出相应的图形,直接判断()中的结论是否依然成立?
不必给出证明或说明理由.
(2014通州一模)
(2)与的相等关系依然成立.
连接、、,
∵、、分别是、、的中点,
∴,,,,
∴四边形为平行四边形.
∵是等边三角形,
∴,.
∵MD=,=60º
∴是等边三角形,
(3)与的相等关系依然成立,
画出正确图形.
【例17】如图1,已知,是等边三角形,点为射线上任意一点(点与点不重合),连结,将线段绕点顺时针旋转得到线段,连结并延长交直线于点.
(1)如图1,猜想_________;
(2)如图2,3,若当是锐角或钝角时,其它条件不变,猜想的度数,选取一种情况加以证明;
(3)如图3,若,,且,求的长.
如图,以是锐角为例.
又由题意可知,,.
设与交于点,
(3)由题意可求,,.
又由
(2)可证.
∴可证垂直平分,为等腰直角三角形.
【例18】问题解决
如图,将两个完全相同的三角形纸片和重合放置,其中,.
(1)如图,固定,将绕点旋转,当点恰好落在边上时,设的面积为,的面积为,那么与的数量关系是__________;
A
C
A(D)
B(E)
D
E
图1图2
B
(2)当绕点旋转到图所示的位置时,小明猜想()中与的数量关系仍然成立,并尝试分别作出了和中、边上的高,请你证明小明的猜想.
(3)如图,,点在其角平分线上,,交于点,若点在射线上,并且,请直接写出相应的的长.
N
M
图3
图4
(1)相等.
(2)证明:
∵、分别是和中、边上的高,
∵,,且,
(3)或.
【例19】将等腰和等腰按图1方式放置,,边与边重合,.将绕点逆时针方向旋转一个角度,的延长线交直线于点.
(1)如图2,与的数量关系是__________,位置关系是__________;
(2)在旋转的过程中,当时,求出的长;
(3)在此旋转过程中,求点运动的路线长.
(2014房山一模)
(1),,
(2)如图所示,
∵和都是等腰三角形,
∴,
∵,,,
∴四边形为正方形,
∵,,,
(3)如图4,取中点,连结、.
在此旋转过程中(),
由
(2)知,当时,
最大,且,
此时,
∴点运动的路线是以为圆心,长为半径的弧与弧的和.
∴点运动的路线长为:
.
【例20】如图,正方形与正方形的边、()在一条直线上,正方形以点为旋转中心逆时针旋转,设旋转角为.在旋转过程中,两个正方形只有点重合,其它顶点均不重合,连接、.
(1)当正方形旋转至如图所示的位置时,求证:
;
(2)当点在直线上时,连接,直接写出的度数;
(3)如图,如果,,,求点到的距离.
(1)证明:
如图2,
∵四边形是正方形,
(2)解:
或.
(3)解:
如图3,连接、.
由已知,可知.
又∵为正方形的对角线,
过点作于点.
设点到的距离为.
即点到的距离为.
【例21】四边形是正方形,是等腰直角三角形,,.连接,为的中点,连接.
(1)如图1,若点在边的延长线上,直接写出与的位置关系及的值;
(2)将图1中的绕点顺时针旋转至图2所示位置,请问
(1)中所得的结论是否仍然成立?
若成立,请写出证明过程;
若不成立,请说明理由.
(3)将图1中的,绕点顺时针旋转,若,,当、、三点共线时,求的长及的值.
(2014西城一模)
(1),;
(2)倍长至,连接、、、;
在与中,
∴(SAS)
在与中
∴(SAS)
∴,
∴为等腰
又∵为的中点
∴,,故
(1)中的结论仍然成立;
(3)连接,则,
∴;
【例22】如图1,已知是等腰直角三角形,,点是的中点.作正方形,使点、分别在和上,连接,.
(1)试猜想线段和的数量关系是__________;
(2)将正方形绕点逆时针方向旋转,
①判断()中的结论是否仍然成立?
请利用图证明你的结论;
②若,当取最大值时,求的值.
(2014燕山一模)
(2)①成立.以下给出证明:
如图,连接,
∵在中,为斜边中点,
∵四边形为正方形,
∴,且,
在和中,
②由①可得,当取得最大值时,取得最大值.
当旋转角为时,,最大值为.
如图,此时.
【例23】如图,在矩形ABCD中,点F在AD延长线上,且DF=DC,M为AB边上一点,N为MD的中
点,点E在直线CF上(点E、C不重合).且若AB=BC,点M、A不重合,
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