因式分解重点难点总结Word下载.doc
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3.(x+3)(x-3)(x2+2);
4.(x-2y)(x-3y)。
我们已经学习了把形如x2+px+q的某些二次三项式因式分解,也学习了通过设辅助元的方法把能转化为形如x2+px+q型的某些多项式因式分解。
对于二次项系数不是1的二次三项式如何因式分解呢?
这节课就来讨论这个问题,即把某些形如ax2+bx+c的二次三项式因式分解。
二、新课
例1把2x2-7x+3因式分解。
分析:
先分解二次项系数,分别写在十字交叉线的左上角和左下角,再分解常数项,分别写在十字交叉线的右上角和右下角,然后交叉相乘,求代数和,使其等于一次项系数。
分解二次项系数(只取正因数):
2=1×
2=2×
1;
分解常数项:
3=1×
3=3×
1=(-3)×
(-1)=(-1)×
(-3)。
用画十字交叉线方法表示下列四种情况:
11131-11-3
2×
32×
12×
-32×
-1
1×
3+2×
11×
1+2×
31×
(-3)+2×
(-1)1×
(-1)+2×
(-3)
=5=7=-5=-7
经过观察,第四种情况是正确有。
这是因为交叉相乘后,两项代数和恰等于一次项系数-7。
解2x2-7x+3=(x-3)(2x-1)。
一般地,对于二次三项式ax2+bx+c(a≠0),如果二次项系数a可以分解成两个因数之积,即a=a1a2,常数项c可以分解成两个因数之积,即c=c1c2,把a1,a2,c1,c2排列如下:
a1c1
a2×
c2
a1c2+a2c1
按斜线交叉相乘,再相加,得到a1c2+a2c1,若它正好等于二次三项式ax2+bx+c的一次项系数b,即a1c2+a2c1=b,那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x+c1与a2x+c2之积,即
ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2)。
像这种借助开十字交叉线分解系数,从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法,通常叫做十字相乘法。
例2把6x2-7x-5分解因式。
分析:
按照例1的方法,分解二次项系数6及常数项-5,把它们分别排列,可有8种不同的排列方法,其中的一种
21
3×
-5
2×
(-5)+3×
1=-7
是正确的,因此原多项式可以用直字相乘法分解因式。
解6x2-7x-5=(2x+1)(3x-5)。
指出:
通过例1和例2可以看到,运用十字相乘法把一个二次项系数不是1的二次三项式因式分解,往往要经过多次观察,才能确定是否可以用十字相乘法分解因式。
对于二次项系数是1的二次三项式,也可以用十字相乘法分解因式,这时只需考虑如何把常数项分解因数。
例如把x2+2x-15分解因式,十字相乘法是
1-3
1×
5
1×
5+1×
(-3)=2
所以x2+2x-15=(x-3)(x+5)。
例3把5x2+6xy-8y2分解因式。
分析:
这个多项式可以看作是关于x的二次三项式,把-8y2看作常数项,在分解二次项及常数项系数时,只需分解5与-8,用十字交叉线分解后,经过观察,选取合适的一组,即
12
5×
-4
1×
(-4)+5×
2=6
解5x2+6xy-8y2=(x+2y)(5x-4y)。
原式分解为两个关于x,y的一次式。
例4把(x-y)(2x-2y-3)-2分解因式。
这个多项式是两个因式之积与另一个因数之差的形式,只有先化简,进行多项式的乘法运算,把变形后的多项式再因式分解。
问:
两个乘积的式子有什么特点,用什么方法进行多项式的乘法运算最简便?
第二个因式中的前两项如果提出公因式2,就变为2(x-y),它是第一个因式的二倍,然后把(x-y)看作一个整体进行乘法运算,可把原多项式变形为关于(x-y)的二次三项式,就可以用址字相乘法分解因式了。
解(x-y)(2x-2y-3)-2
=(x-y)[2(x-y)-3]-21-2
=2(x-y)2-3(x-y)-22×
+1
=[(x-y)-2][2(x-y)+1]1×
(-2)=-3
=(x-y-2)(2x-2y+1)。
把(x-y)看作一个整体进行因式分解,这又是运用了数学中的“整体”思想方法。
三、课堂练习
1.用十字相乘法因式分解:
(1)2x2-5x-12;
(2)3x2-5x-2;
(3)6x2-13x+5;
(4)7x2-19x-6;
(5)12x2-13x+3;
(6)4x2+24x+27。
2.把下列各式因式分解:
(1)6x2-13x+6y2;
(2)8x2y2+6xy-35;
(3)18x2-21xy+5y2;
(4)2(a+b)2+(a+b)(a-b)-6(a-b)2。
答案:
1.
(1)(x-4)(2x+3);
(2)(x-2)(3x+1);
(3)(2x-1)(3x-5);
(4)(x-3)(7x+2);
(5)(3x-1)(4x-3);
(6)(2x+3)(2x+9)。
2.
(1)(2x-3y)(3x-2y);
(2)(2xy+5)(4xy-7);
(3)(3x-y)(6x-5y);
(4)(3a-b)(5b-a)。
四、小结
1.用十字相乘法把某些形如ax2+bx+c的二次三项式分解因式时,应注意以下问题:
(1)正确的十字相乘必须满足以下条件:
a1c1
在式子中,竖向的两个数必须满足关系a1a2=a,c1c2=c;
在上式中,斜
a2c2
向的两个数必须满足关系a1c2+a2c1=b,分解思路为“看两端,凑中间。
”
(2)由十字相乘的图中的四个数写出分解后的两个一次因式时,图的上一行两个数中,a1是第一个因式中的一次项系数,c1是常数项;
在下一行的两个数中,a2是第二个因式中的一次项的系数,c2是常数项。
(3)二次项系数a一般都把它看作是正数(如果是负数,则应提出负号,利用恒等变形把它转化为正数),只需把经分解在两个正的因数。
2.形如x2+px+q的某些二次三项式也可以用十字相乘法分解因式。
3.凡是可用代换的方法转化为二次三项式ax2+bx+c的多项式,有些也可以用十字相乘法分解因式,如例4。
五、作业
1.用十字相乘法分解因式:
(1)2x2+3x+1;
(2)2y2+y-6;
(3)6x2-13x+6;
(4)3a2-7a-6;
(5)6x2-11xy+3y2;
(6)4m2+8mn+3n2;
(7)10x2-21xy+2y2;
(8)8m2-22mn+15n2。
2.把下列各式分解因式:
(1)4n2+4n-15;
(2)6a2+a-35;
(3)5x2-8x-13;
(4)4x2+15x+9;
(5)15x2+x-2;
(6)6y2+19y+10;
(7)20-9y-20y2;
(8)7(x-1)2+4(x-1)(y+2)-20(y+2)2。
1.
(1)(2x+1)(x+1);
(2)(y+2)(2y-3);
(3)(2x-3)(3x-2);
(4)(a-3)(3a+2);
(5)(2x-3y)(3x-y);
(6)(2m+n)(2m+3n);
(7)(x-2y)(10x-y);
(8)(2m-3n)(4m-5n)。
2.
(1)(2n-3)(2n+5);
(2)(2a+5)(3a-7);
(3)(x+1)(5x-13);
(4)(x+3)(4x+3);
(5)(3x-1)(5x+2);
(6)(2y+5)(3y+2);
(7)-(4y+5)(5y-4);
(8)(x+2y+3)(7x-10y-27)。
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