四边形中“新定义”型试题探究Word下载.doc
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(4)试研究四边形的准等距点个数的情况(说出相应四边形的特征及准等距点的个数,不必证明).
图4
图2
解:
(1)如图2,连结AC,在AC上任取除AC中点外的点P,点P即为所画点.
(2)如图3,连结BD,作BD的中垂线交直线AC于点P,因点P不是AC的中点,故点P即为所求作点.
(3)如图4,连结DB,在△DCF与△BCE中,∠CDF=∠CBE,∠DCF=∠BCE,CF=CE.∴△DCF≌△BCE(AAS),∴CD=CB,∴∠CDB=∠CBD,∴∠PDB=∠PBD,∴PD=PB,∵PA≠PC,∴点P是四边形ABCD的准等距点.
(4)①当四边形的对角线互相垂直且任何一条对角线不平分另一对角线时,准等距点的个数为0个;
②四边形的对角线互相垂直且至少有一条对角线平分另一对角线时,准等距点有无数个.
③当四边形的对角线不互相垂直,但互相平分时,准等距点的个数为0个;
④当四边形的对角线不互相垂直,又不互相平分,且有一条对角线的中垂线经过另一对角线的中点时,准等距点的个数为1个;
⑤当四边形的对角线既不互相垂直又不互相平分,且任何一条对角线的中垂线都不经过另一条对角线的中点时,准等距点的个数为2个.
评析:
本道题以特殊点为契机,创设了一个全新的概念——四边形的准等距点.第
(1)小题是新定义的简单应用.第
(2)小题根据新定义的内涵作图,其实质作一对角线的中垂线与另一对角线的交点,且这一交点不在另一对角线的中点上;
思维敏锐、镇定从容的同学,从作图中不难发现一般的四边形等距点可能为0、1、2、无数个.第(3)小题,常中见新、拙中藏巧,利用新定义及三角形有关知识就可使命题获证.第(4)小题则难度极大,对分析问题能力、分类讨论能力、抽象思维能力、归纳能力及语言表达能力提出了极高的要求.好在
(1)、
(2)两小题解决后累积的经验,为第(4)小题解决铺设了平台,尤其是第
(2)小题画图时产生的灵感,为第(4)小题的解决指引着思维的方向.于是,类比、联想能力强,思维敏捷的同学会从对角线位置关系入手,对四边形等距点个数进行分类研究;
思维严密、深刻的同学,会根据对角线垂直与否及是否平分,分成五类,最后,经抽象、归纳成四类.
二、以特殊边为契机边进行“新定义”
例2(2007年北京市中考数学试题)我们知道:
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.类似地,我们定义:
至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形.
图5
(1)请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称;
(2)如图,在△ABC中,点D,E分别在AB,AC上,设CD、BE相交于点O,若∠A=60°
,∠DCB=∠EBC=∠A.请你写出图中一个与∠A相等的角,并猜想图中哪个四边形是等对边四边形;
(3)在△ABC中,如果∠A是不等于60°
的锐角,点D,E分别在AB,AC上,且∠DCB=∠EBC=∠A.探究:
满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形,并证明你的结论.
解:
(1)平行四边形、等腰梯形等.
(2)答:
与∠A相等的角是∠BOD(或∠COE).四边形DBCE是等对边四边形.
(3)答:
此时存在等对边四边形,是四边形DBCE.
证明:
如图5,作CG⊥BE于G点,作BF⊥CD交CD延长线于F点,∴∠F=900=
∠EGC.∵,BC为公共边,∴.∴BF=CG.∵∠BDF=∠ABE+∠EBC+∠DCB,∠BEC=∠ABE+∠A,∴∠BDF=∠BEC,又∵∠F=
∠EGC,∴,∴BD=CE,∴四边形DBCE是等对边四边形.
此题以一组对边相等关系为契机,创设了一个全新的概念——等对边四边形.语言精练,设问流畅,层次感强.解决此题,需较强的分析问题能力、推理论证能力.第
(1)小题是新定义的简单应用.第
(2)小题的第一问,利用三角形的内外角的数量关系即可解决;
而第二问,易得猜想:
BD=CE,四边形DBCE为等对边四边形,但凭直角得到的猜想不一定可靠,为此大多数考生会设法证明自己的猜想.由公共边BC,∠DCB=∠EBC=∠A=30°
∠BOD=∠COE=60°
这些条件及要证的猜想BD=CE,不难想到添辅助线的方法:
分别过点B、C作CD、BE的垂线,从而证明自己的猜想.第(3)小题完全可类比第
(2)小题的第二问进行,先证,再证得,继而使问题获得解决;
当然,第(3)小题,也可作∠HCB=∠DBC交BE于点H,构造全等三角形△BDC与△CHB,得BD=CH,再证CH=CE,也可使问题获得解决.
三、以特殊角为契机进行“新定义”
例3(2006年安徽省中考数学试题)如图6,凸四边形ABCD中,如果点P满足∠APD=∠APB=α.且∠BPC=∠CPD=β,则称点P为四边形ABCD的一个半等角点.
(l)在图7正方形ABCD内画一个半等角点P,且满足α≠β.
(2)在图8四边形ABCD中画出一个半等角点P,保留画图痕迹(不需写出画法).
图8
图7
(3)若四边形ABCD有两个半等角点P1、P2(如图9),证明线段P1P2上任一点也是它的半等角点.
图6
图9
B′
(1)所画的点P在AC上且不是AC的中点和AC的端点,即可.
(2)画点B关于AC的对称点B′,延长DB′交AC于点P,点P即为所求的点.
(3)连P1A、P1D、P1B、P1C和P2D、P2B,根据题意,∠AP1D=∠AP1B,∠DP1C=∠BP1C,∴∠AP1B+∠BP1C=1800,∴P1在AC上,同理,P2也在AC上.在△DP1P2和△BP1P2中
∠DP1P2=∠BP1P2,∠DP2P1=∠BP2P1,∵P1P2=P1P2,∴△DP1P2≌△BP1P2,∴P1D=P1B,P2D=P2B,∴B、D关于AC对称.设P是P1P上任一点,连结PD、PB,由对称性,得∠DPA=∠BPA,∠DPC=∠BPC,∴点P是四边形的半等角点.
此题以顶点相同的四个角满足特殊的数量、位置关系为契机,创设了一个全新的概念——四边形半等角点.第
(1)小题是新定义的直接应用.第
(2)小题,语言简洁、精练,看似平淡,实则蕴涵丰富的思维内涵,突出考查了学生灵活运用基础知识解决问题的能力.通过分析,发现所求作的点在对角线AC上,且∠DPA=∠BPA,但要画出点P仍不容易;
继续分析,发现∠DPB关于直线AC对称,点B关于AC的对称点B′在DP上,至此,才峰回路转,柳暗花明.第(3)小题要证明线段P1P2上任一点也是它的半等角点,需先证A、P1、P2、B四点在一直线上,再证线段P1P2上任一点满足条件∠DPA=∠BPA,∠DPC=
∠BPC,从而使问题获证,此小题对思维的严密性提出了较高的要求.
四、以特殊对角线为契机进行“新定义”
例4(2006年北京市中考数学试题)我们给出如下定义:
若一个四边形的两条对角线相等,则称这个四边形为等对角线四边形.请解答下列问题:
(1)写出你所学过的特殊四边形中是等对角线四边形的两种图形的名称;
(2)探究:
当等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为600时,这对600角所对的两边之和与其中一条对角线的大小关系,并证明你的结论.
(1)矩形、等腰梯形.
(2)结论:
等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为600时,这对600角所对的两边之和大于或等于一条对角线的长.
A
D
E
F
C
B
O
图11
已知:
四边形中,对角线,交于点,,且.
图10
求证:
.
过点作,在上截取,使.连结,.∴,四边形是平行四边形,∴;
又∵,∴DE=AC=BD,∵∠EDO=600,∴是等边三角形,∴.①当与在同一条直线上时(如图10),则,∴.②当与不在同一条直线上时(如图11),在中,有,∴.综合①、②,得.
即等对角线四边形中两条对角线所夹角为600时,这对600角所对的两边之和大于或等于其中一条对角线的长.
此题以对角线之间满足相等关系为契机,创设了一个全新的概念——等对角线四边形.第
(1)小题考查学生运用新知识的能力及掌握课标规定的双基知识的情况.第
(2)小题,语言精练,构思精巧,涉及的知识点不多,但思维含量及高.着重考查学生观察力、分析能力、逻辑推理能力.好多考生面对此题,犹如“昨夜西风凋碧树,独上高楼,望尽天涯路”.解决此题,可就其特殊情形入手,即当此等对角线四边形为梯形时先研究,不难想到等对角线梯形问题常添辅助线是平移对角线至过角的顶点,从而使特殊情形时问题获证;
对于一般情形,则可类比特殊情形的方法,使问题得到解决.
五、以特殊位置关系为契机进行“新定义”
例5(2005年资阳市中考数学试题)阅读以下短文,然后解决下列问题:
如果一个三角形和一个矩形满足条件:
三角形的一边与矩形的一边重合,且三角形的这边所对的顶点在矩形这边的对边上,则称这样的矩形为三角形的“友好矩形”.如图12所示,矩形ABEF即为△ABC的“友好矩形”.显然,当△ABC是钝角三角形时,其“友好矩形”只有一个.
(1)仿照以上叙述,说明什么是一个三角形的“友好平行四边形”;
(2)如图13,若△ABC为直角三角形,且∠C=90°
,在图13中画出△ABC的所有“友好矩形”,并比较这些矩形面积的大小;
图12
图13
图14
(3)若△ABC是锐角三角形,且BC>
AC>
AB,在图14中画出△ABC的所有“友好矩形”,指出其中周长最小的矩形并加以证明.
(1)如果一个三角形和一个平行四边形满足条件:
三角形的一边与平行四边形的一边重合,三角形这边所对的顶点在平行四边形这边的对边上,则称这样的平行四边形为三角形的“友好平行四边形”.
(2)此时共有2个友好矩形,如图的矩形BCAD、ABEF.
易知,矩形BCAD、ABEF的面积都等于△ABC面积的2倍,∴△ABC的“友好矩形”的面积相等.
(3)此时共有3个友好矩形,如图的矩形BCDE、CAFG及ABHK,其中的矩形ABHK的周长最小.
易知,这三个矩形的面积相等,令其为S.设矩形BCDE、CAFG及ABHK的周长分别为l1,l2
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