四边形的性质及证明Word文件下载.doc
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①平行四边形的两组对边分别平行;
②平行四边形的两组对边分别相等;
③平行四边形的两组对角分别相等;
④平行四边形的对角线互相平分.
符号语言表达:
四边形ABCD是平行四边形
4.平行四边形的判定:
①两组对边分别平行的四边形是平行四边形.②两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.④两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形.
AB∥CD,BC∥AD四边形ABCD是平行四边形
AB=CD,BC=AD四边形ABCD是平行四边形.
AB平行且相等CD或BC平行且相等AD四边形ABCD是平行四边形.
OA=OC,OB=OD四边形ABCD是平行四边形.
∠ABC=∠ADC,∠DAB=∠DCB四边形ABCD是平行四边形.
三、矩形、菱形、正方形
1、菱形的性质:
①菱形的四条边都相等.②菱形的对角线互相垂直,并且每条对角线平分一组对角.③具有平行四边形所有性质.
2.菱形的判定:
①对角线互相垂直的平行四边形是菱形.②一组邻边相等的平行四边形是菱形.
③四条边都相等的四边形是菱形.
3.矩形的性质:
①矩形的四个角都是直角.②矩形的对角线相等.③矩形具有平行四边形的所有性质.
4.矩形的判定:
①有一个角是直角的平行四边形是矩形.②对角线相等的平行四边形是矩形.③有三个角是直角的四边形是矩形.
5.正方形的性质:
①正方形的四个角都是直角,四条边都相等.②正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分,每条对角线平分一组对角.
6.正方形的判定:
①有一个角是直角的柳是正方形.②有一组邻边相等的矩形是正方形.③对角线相等的菱形是正方形.④对角线互相垂直的矩形是正方形.
四、梯形
1.定义:
一组对边平行,另一组对进不平行的四边形叫梯形.两腰相等的梯形叫等腰梯形.一腰和底垂直的梯形叫做直角梯形.
2、等腰梯形的性质:
等腰梯形同一底上的两个角相等;
等腰梯形的对角线相等.
3.等腰梯形的判定:
①同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形.②对角线相等的梯形是等腰梯形.
4.等腰梯形常见的作辅助线的方法.
(1)作等腰梯形的两条高,将等腰梯形分成一个矩形和两个全等直角三角形。
(2)平移一腰,将等腰梯形化成一个平行四边形和一个等腰三角形.
(3)平移对角线,将等腰梯形转化为等腰三角形。
(4)如果题中有一腰的中点,则可连结上底的一个顶点和一腰的中点并延长交下底一点。
五、中位线
定义;
几何证明中经常用到中位线。
六、平面向量
定义:
要素
加减法则。
七、常见辅助线用语:
1、连结XX
延长XX至X,使XX=XX
延长XX与XX,交于点X
2、过点X作XX∥XX
3、过点X作XX⊥XX于X
巩固练习:
一、填空题
1.六边形共有( )条对角线.
2.一个多边形内角和为540°
,则其边数为( ).
3.一个多边形每一个外角都是30°
,则这个多边形是( )边形.
4.从凸n边形一个顶点出发,有( )条对角线.
5.一个多边形的边数正好等于这个多边形对角线的条数,则边数为( ).
6.任意多边形的外角和为( )度.
二、选择题(把正确答案的序号字母填入括号中)
1.一个凸n边形的n个角中,至多有几个角是锐角.结论应该是至多有( )个.
(A)4个 (B)3个 (C)2个 (D)不能确定
2.一个凸多边形内角和900°
,则这个多边形边数为( )条.
(A)8 (B)5 (C)7 (D)10
3.如果从一个凸多边形的一个顶点出发,一共有17条对角线,则这个多边形内角和为( ).
(A)1800°
(B)2400°
(C)3240°
(D)4206°
4.平行四边形对角线将其分成全等三角形( )对.
(A)2 (B)3 (C)4 (D)5
三、求解题
1.一个多边形的内角和是其外角和的2倍,求边数.
2.多边形每一个内角都是150°
,求对角线的条数.
3.两个角的两边分别垂直,且一个角是另一个角的4倍还少30°
,求这两个角的度数.
4.一个多边形的各内角都相等,且内外角之差的绝对值为60°
,求边数.
5.一个多边形的内角和与其一个外角的总和为1350°
6.多边形的一个外角与其余各内角和为600°
提高练习:
一、选择题
1.能判定四边形ABCD为平行四边形的题设是().
(A)AB∥CD,AD=BC;
(B)∠A=∠B,∠C=∠D;
(C)AB=CD,AD=BC;
(D)AB=AD,CB=CD
2.在□ABCD中,∠A、∠B的度数之比为5∶4,则∠C等于()
A.60°
B.80°
C.100°
D.120°
3.平行四边行的两条对角线把它分成全等三角形的对数是()
A.2 B.4 C.6 D.8
4.平行四边形具有,而一般四边形不具有的性质是(
)
A.外角和等于360°
B.对角线互相平分
C.内角和等于360°
D.有两条对角线
5.用两块完全相同的直角三角形拼下列图形:
①平行四边形②矩形③菱形④
正方形⑤等腰三角形⑥等边三角形,一定能拼成的图形是()
A、①④⑤B、②⑤⑥C、①②③D、①②⑤
6.小明和小亮在做一道习题,若四边形ABCD是平行四边形,请补充条件,使得四边形ABCD是菱形。
小明补充的条件是AB=BC;
小亮补充的条件是AC=BD,你认为下列说法正确的是()
A、小明、小亮都正确B、小明正确,小亮错误
C、小明错误,小亮正确D、小明、小亮都错误
7.下面性质中菱形有而矩形没有的是()
(A)邻角互补(B)内角和为360°
(C)对角线相等(D)对角线互相垂直
8.正方形具有而菱形不一定具有的性质是()
(A)四条边相等(B)对角线互相垂直平分
(C)对角线平分一组对角(D)对角线相等
9.下列命题中,真命题是()
A、有两边相等的平行四边形是菱形B、有一个角是直角的四边形是直角梯形
C、四个角相等的菱形是正方形D、两条对角线相等的四边形是矩形
10.如图10,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD,那么它的四个内角按一定顺序的度
数比可能为()
A、3:
4:
5:
6B、4:
5C、2:
3:
2D、2:
3
二.填空题
1.在中,,则度.
2.在中,两邻边的差为4cm,周长为32cm,则两邻边长分别为________.
3.在中,,则的周长为________cm.
4.已知菱形两条对角线的长分别为5cm和8cm,则这个菱形的面积是______cm.
5.等腰梯形的上底是10cm,下底是14cm,高是2cm,则等腰梯形的周长为______cm.
6.对角线长为10cm的正方形的边长是______cm,面积是______cm2。
7.若菱形的周长为24cm,一个内角为60°
,则菱形的面积为______cm2。
8.如图,已知AD∥BC,要使四边形ABCD为平行,
四边形需要增加一个条件是:
_______。
三.解答题
1.在一个平行四边形中若一个角的平分线把一条边分成长是2cm和3cm的两条线段,求该平行四边形的周长是多少?
2.如图,中,E为BC上一点,于,求的度数.
3.已知:
如图,梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=60°
,∠C=30°
,AD=2,BC=8。
求:
梯形两腰AB、CD的长。
A
B
C
D
4.如图,在四边形中,点是线段上的任意一点(与不重合),分别是的中点.
(1)证明四边形是平行四边形;
(2)在
(1)的条件下,若,且,证明平行四边形是正方形.
G
E
F
H
5.已知:
如图,在正方形ABCD中,点E、F分别在BC和CD上,AE=AF.
(1)求证:
BE=DF;
(2)连接AC交EF于点O,延长OC至点M,使OM=OA,连接EM、FM.判断四边形AEMF是什么特殊四边形?
并证明你的结论.
O
6.已知:
如图,ABCD中,点E、F分别在CD、AB上,DF∥BE,EF交BD于点O.求证:
EO=OF.
7.如图,已知四边形ABCD中,AC=BD,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA边上的中点,求证:
四边形EFGH是菱形.
8.如图,矩形ABCD中,AC与BD交于O点,BE⊥AC于E,CF⊥BD于F.
求证:
BE=CF.
9.如图,为直角,点为线段的中点,点是射线上的一个动点(不与点重合),连结,作,垂足为,连结,过点作,交于.
;
(2)在什么范围内变化时,四边形是梯形,并说明理由;
M
(3)在什么范围内变化时,线段上存在点,满足条件,并说明理由.
10.如图,四边形ABCD为正方形,DE∥AC,AE=AC,AE与CD相交于F.
求证:
CE=CF.
11.如图,四边形ABCD为正方形,DE∥AC,且CE=CA,直线EC交DA延长线于F.
AE=AF.
课后练习
一、填空(每题3分,计15分)
1.若n边形的每一个内角都是120°
,则边数n为_______。
2.平行四边形的周长为100cm,两邻边之差为30cm,则平行四边形较短的边长为________。
3.菱形两邻角之比为1∶5,高为1.5cm,则菱形的周长为________。
4.一直角梯形ABCD,AD∥BC,∠B=90°
,AB=5,两底差为12,则另一腰为
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- 四边形 性质 证明