周矶中学圆的证明与计算第1问证切线(连半径证垂直)第2问计算Word格式文档下载.doc
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∴。
∴
∴cos∠BCA=cos∠POA=。
【考点】切线的判定和性质,平行的判定和性质,全等三角形的判定和性质,相似三角形的判定和性质,锐角三角函数的定义,勾股定理,切线长定理。
【分析】
(1)连接OB、OP,由,且∠D=∠D,根据三角形相似的判定得到△BDC∽△PDO,可得到BC∥OP,易证得△BOP≌△AOP,则∠PBO=∠PAO=90°
(2)设PB,则BD=,根据切线长定理得到PA=PB,根据勾股定理得到AD=,又BC∥OP,得到DC=2CO,得到,则,利用勾股定理求出OP,然后根据余弦函数的定义即可求出cos∠BCA=cos∠POA的值。
2.(内蒙古巴彦淖尔、赤峰12分)如图,等圆⊙O1和⊙O2相交于A,B两点,⊙O2经过⊙O1的圆心O1,两圆的连心线交⊙O1于点M,交AB于点N,连接BM,已知AB=2。
(1)求证:
BM是⊙O2的切线;
(2)求的长。
【答案】解
(1)证明:
连结O2B,
∵MO2是⊙O1的直径,∴∠MBO2=90°
∴BM是⊙O2的切线。
(2)∵O1B=O2B=O1O2,∴∠O1O2B=60°
∵AB=2,∴BN=,∴O2B=2。
∴===。
【考点】切线的判定和性质,相交两圆的性质,锐角三角函数,特殊角的三角函数值,弧长的计算。
(1)连接O2B,由MO2是⊙O1的直径,得出∠MBO2=90°
从而得出结论:
BM是⊙O2的切线。
(2)根据O1B=O2B=O1O2,则∠O1O2B=60°
,再由已知得出BN与O2B,从而计算出弧AM的长度。
3.(2012浙江省义乌市,20,8分)如图,已知AB是⊙O的直径,点C、D在⊙O上,
点E在⊙O外,∠EAC=∠D=60°
.
(1)求∠ABC的度数;
(2)求证:
AE是⊙O的切线;
(3)当BC=4时,求劣弧AC的长.
【解析】
(1)根据相等的弧长对应的圆周角相等,得∠ABC=∠D=60°
(2)直径对应的圆周角为直角,则由三角形内角和为180°
,得出∠BAC的大小,继而得出∠BAE的大小为90°
,即AE是⊙O的切线。
(3)由题意易知,△OBC是等边三角形,则由劣弧AC对应的圆心角可求出劣弧AC的长。
3.解:
(1)∵∠ABC与∠D都是弧AC所对的圆周角
∴∠ABC=∠D=60°
…………2分
(2)∵AB是⊙O的直径
∴∠ACB=90°
……………………………………3分
∴∠BAC=30°
∴∠BAE=∠BAC+∠EAC=30°
+60°
=90°
…………………4分
即BA⊥AE
∴AE是⊙O的切线…………………………………………………………5分
O
A
B
C
D
E
(3)如图,连结OC
∵OB=OC,∠ABC=60°
∴△OBC是等边三角形
∴OB=BC=4,∠BOC=60°
∴∠AOC=120°
…………………7分
∴劣弧AC的长为…………………………………………8分
【点评】此题考查圆弧的长与其对应的圆心角、圆周角的关系,及三角形的内角和为180°
相等的弧长对应的圆周角、圆心角相等.
4.(2012年浙江省宁波市,23,8)如图在△ABC中,BE是它的角平分线,∠C=900,D在AB边上,以DB为直径的半圆O经过点E交BC于点F.
(1)求证:
AC是⊙O的切线;
(2)已知sinA=,⊙O的半径为4,求图中阴影部分的面积.
【解析】1)连接OE,∵OB=OE∴∠OBE=∠OEB.∵BE是△ABC角平分线,∴∠OBE=∠EBC,∴∠OEB=∠EBC,∴OE∥BC,∵∠C=900,∴∠AEO=∠C=900,∴AC是⊙O切线.
连接OF.
∵sinA=,∴∠A=30°
∵⊙O的半径为4,∴AO=2OE=8,
∴AE=4,∠AOE=60°
,∴AB=12,
23题图
∴BC=AB=6AC=6,
∴CE=AC-AE=2.
∵OB=OF,∠ABC=60°
,∴△OBF是正三角形.
∴∠FOB=60°
,CF=6-4=2,∴∠EOF=60°
.
∴S梯形OECF=(2+4)×
2=6.
S扇形EOF=60π×
42÷
360=π`
∴S阴影部分=S梯形OECF-S扇形EOF6-π`
(1)连接OE,∵OB=OE∴∠OBE=∠OEB.∵BE是△ABC角平分线,∴∠OBE=∠EBC,∴∠OEB=∠EBC,∴OE∥BC,∵∠C=900,∴∠AEO=∠C=900,∴AC是⊙O切线.
(2)6-π`
【点评】本题考查了切线的判定与性质及扇形面积的计算,解题的关键是连接圆心和切点,利用过切点且垂直于过切点的半径来判定切线.
5.(2012山东省聊城,24,10分)如图,⊙O是△ABC外接圆,AB=AC=10,BC=12,P是弧上一动点,过点P作BC的平行线交AB延长线与点D.
(1)当点P在什么位置时,DP是⊙O的切线?
说明理由.
(2)当DP是⊙O的切线时,求DP的长.
解析:
(1)根据PD//BC,可以天加辅助线由切线判定定理解题;
(2)根据勾股定理与垂径定理求出⊙O半径r,再结合△ABE∽△ADP即可.
解:
(1)当P是BC中点时,DP是⊙O的切线.理由如下:
∵AB=AC,∴
又
∴PA是⊙O的直径.
又AB=AC,∴PA⊥BC.
∵DP//BC,∴PD⊥AP.
∴DP是⊙O的切线.
(2)连接OB,设PA交BC于点E.
由垂径定理得,BE=.
在Rt△ABE中,据勾股定理,.
设⊙O的半径为r,则OE=8-r.
在Rt△OBE中,.
解得r=.
∵DP//BC,∴∠ABE=∠D.
又∵∠1=∠1,∴△ABE≌△ADP.
,即,
∴DP=
点评:
本题是一道综合试题,以圆为载体考查了圆的基本知识、圆的切线、平行线、勾股定理、相似三角形、方程思想等,解题要冷静、细心、充分拓展数学核心知识,达到灵活解决问题.
6.(2012山东德州中考,21,10,)如图,点A,E是半圆周上的三等分点,直径BC=2,,垂足为D,连接BE交AD于F,过A作∥BE交BC于G.
(1)判断直线AG与⊙O的位置关系,并说明理由.
(2)求线段AF的长.
F
G
21.【解析】
(1)由题意可知点A是弧BE的中点,由垂径定理即可得出:
OA⊥BE,又∵AG∥BE,∴OA⊥AG.所以AG和⊙O的半径垂直,直线AG与⊙O的位置关系相切.
(2)要求AF的长,先由已知得出△AOB为等边三角形;
在求出AD、BD的长,在Rt△BDF中由三角函数求出DF的值,然后求出AF=ADDF.
(1)AG与⊙O相切.………………………………(1分)
证明:
连接OA,∵点A,E是半圆周上的三等分点,
∴弧BA、AE、EC相等,
∴点A是弧BE的中点,
∴OA⊥BE.
又∵AG∥BE,
∴OA⊥AG.
∴AG与⊙O相切.………………………………(5分)
(2)∵点A,E是半圆周上的三等分点,
∴∠AOB=∠AOE=∠EOC=60°
又OA=OB,
∴△ABO为正三角形.……………………………(6分)
又AD⊥OB,OB=1,
∴BD=OD=,AD=.………………………………(8分)
又∠EBC==30,
在Rt△FBD中,FD=BDtan∠EBC=BDtan30°
=,
∴AF=ADDF=-=.………………………………(10分)
【点评】本题综合考查了圆与解直角三角形的相关知识,垂径定理和三角函数的定义考查是中考中的常考问题之一,需要重点掌握次知识.
7.(2012山东省临沂市,23,9分)如图,点A、B、C分别是⊙O上的点,∠B=600,AC=3,CD是⊙O的直径,P是CD延长线上的一点,且AP=AC.
AP是⊙O的切线;
(2)求PD的长。
(1)证明AP是⊙O的切线,连接OA,只需证明半
径与直线的夹角是900,即∠PAO=900便可。
(2)CD是⊙O的直径,∴连接AD,∠ADC=900,又∠B
=600,AC=3,应用三角函数可求得PD=AD=AC∙tan300=.
(1)证明:
连接OA,∵∠B=600,∠AOC=2∠B=1200,
∵OA=OC,∴∠ACP=CAO=300,∴∠AOP=600,
又∵AP=AC.∴∠P=∠ACP=300,∴∠OAP=900,即OA⊥AP,
∴AP是⊙O的切线;
(2)CD是⊙O的直径,连接AD,∴∠CAD=900,
∴AD=AC∙tan300=.
∵∠ADC=∠B=600,∴∠PAD=∠ADC-∠P=300,∴∠P=∠PAD,
∴PD=AD=.
【点评】本题考查了切线的判定与性质:
过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线;
也考查了圆周角定理的推论以及三角函数的应用.要求学生掌握常见的解题方法,并能结合图形选择简单的方法解题.
8.(2012北京,20,5)已知:
如图,是的直径,是上一点,于点,过点作的切线,交的延长线于点,连结.
与相切;
(2)连结并延长交于点,若,求的长.
【解析】圆与直线的位置关系;
相似和三角函数
连结OC
∵OD⊥BC
所以∠EOC=∠EOB
在△EOC和△EOB中
∴△EOC≌△EOB (SAS)
∴∠OBE=∠OCE=90°
∴BE与⊙O相切
(2)解:
过点D作DH⊥AB
∵△ODH∽△OBD
∴OD:
OB=OH:
OD=DH:
BD
又∵sin∠ABC=
∴OD=6
∴OH=4,OH=5,DH=2
又∵△ADH∽△AFB
∴AH:
AB=DH:
PB
13:
18=2:
FB
∴FB=
【点评】
(1)利用全等三角形求出角度为90°
,即得到相切的结论。
(2)利用三角形相似和三角函数求出三角形各线段的长。
9.(2012浙江省温州市,22,10分)如图,△ABC中,,D是边AB上一点,且是BC边上的一点,以EC为直径的经过点D。
AB是的切线;
(2)若CD的弦心距为1,BE=EO,求BD的长。
【解析】欲证AB是的切线,只需证明OD⊥AB.欲求BD的长,只需利用特殊的三角函数值或勾股定理即可。
连结OD,
∵∠DOB=2∠DCB,
又∵∠A=2∠DCB,∴∠A=∠DOB.
∴∠A+∠B=90°
,∴∠BDO=90°
,
∴OD⊥AB,
∴AB是⊙O的切线.
(2)解法一:
过点O作OM⊥CD于点M,
∵OD=OE=BE=BO,∠BDO=90°
∴∠B=30°
,∴∠DOB=60°
∴∠DCB=30°
,∴OC=2OM=2,
∴OD
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