数学二试题分析详解和评注.docx
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数学二试题分析详解和评注
2007年数学二试题分析、详解和评注
分析解答所用参考书:
1.黄先开、曹显兵教授主编的《2007考研数学经典讲义(理工类)》,简称经典讲义(人大社出版).2.黄先开、曹显兵教授主编的《2007考研数学历年真题题型解析》,简称真题(人大社出版).3.黄先开、曹显兵教授在2006强化辅导班上的讲稿.
一、选择题:
(本题共10小题,每小题4分,共40分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
(1)当时,与等价的无穷小量是
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(A).(B).(C).(D). 【】
【答案】应选(B).
【分析】利用已知无穷小量的等价代换公式,尽量将四个选项先转化为其等价无穷小量,再进行比较分析找出正确答案.
【详解】当时,有;;
利用排除法知应选(B).
【评注】本题直接找出的等价无穷小有些困难,但由于另三个的等价无穷小很容易得到,因此通过排除法可得到答案。
事实上,
=
完全类似例题见《经典讲义》P.28例1.63,例1.64,例1.65及辅导班讲义例1.6.
(2)函数在上的第一类间断点是x=
(A)0.(B)1.(C).(D). 【】
【分析】本题f(x)为初等函数,找出其无定义点即为间断点,再根据左右极限判断其类型。
【详解】f(x)在上的无定义点,即间断点为x=0,1,
又,
,
可见x=0为第一类间断点,因此应选(A).
【评注】本题尽管可计算出,从而均为第二类间断点,但根据四个选项的答案,已经确定x=0为第一类间断点后,后面三个极限问题事实上没必要再计算。
完全类似例题见《经典讲义》P.30例1.69,P.32例1.72及辅导班讲义例1.11.
(3)如图,连续函数y=f(x)在区间[−3,−2],[2,3]上的图形分别是直径为1的上、下半圆周,在区间[−2,0],[0,2]的图形分别是直径为2的下、上半圆周,设则下列结论正确的是
(A).(B).
(C).(D). 【】
【答案】应选(C).
【分析】本题考查定积分的几何意义,应注意f(x)在不同区间段上的符号,从而搞清楚相应积分与面积的关系。
【详解】根据定积分的几何意义,知F
(2)为半径是1的半圆面积:
,
F(3)是两个半圆面积之差:
=,
因此应选(C).
【评注1】本题F(x)由积分所定义,应注意其下限为0,因此
,也为半径是1的半圆面积。
可知(A)(B)(D)均不成立.
【评注2】若试图直接去计算定积分,则本题的计算将十分复杂,而这正是本题设计的巧妙之处。
完全类似例题见《经典讲义》P.152例7.15,例7.16,例7.18及辅导班讲义例7.12
(4)设函数f(x)在x=0处连续,下列命题错误的是:
(A)若存在,则f(0)=0.(B)若存在,则f(0)=0.
(C)若存在,则存在.(D)若存在,则存在
【】
【答案】应选(D).
【分析】本题为极限的逆问题,已知某极限存在的情况下,需要利用极限的四则运算等进行分析讨论。
【详解】(A),(B)两项中分母的极限为0,因此分子的极限也必须为0,均可推导出f(0)=0.
若存在,则,可见(C)也正确,故应选(D).事实上,可举反例:
在x=0处连续,且
=存在,但在x=0处不可导.
重要知识点提示见《经典讲义》P.39,完全类似例题见P.41例2.1,P.42例2.6及P.60习题2及辅导班讲义例2.5.
(5)曲线,渐近线的条数为
(A)0.(B)1.(C)2.(D)3. 【】
【答案】应选(D).
【分析】先找出无定义点,确定其是否为对应垂直渐近线;再考虑水平或斜渐近线。
【详解】因为,所以为垂直渐近线;
又,所以y=0为水平渐近线;
进一步,=,
=
=,
于是有斜渐近线:
y=x.故应选(D).
【评注】一般来说,有水平渐近线(即)就不再考虑斜渐近线,但当不存在时,就要分别讨论和两种情况,即左右两侧的渐近线。
本题在x<0的一侧有水平渐近线,而在x>0的一侧有斜渐近线。
关键应注意指数函数当时极限不存在,必须分和进行讨论。
重点提示见《经典讲义》P.145,类似例题见P.150例7.13,例7.14及辅导班讲义例7.8.
(6)设函数f(x)在上具有二阶导数,且令,
则下列结论正确的是:
(A)若,则必收敛.(B)若,则必发散.
(C)若,则必收敛.(D)若,则必发散. 【】
【答案】应选(D).
【分析】利用反例通过排除法进行讨论。
【详解】设f(x)=,则f(x)在上具有二阶导数,且,但发散,排除(C);设f(x)=,则f(x)在上具有二阶导数,且,但收敛,排除(B);又若设,则f(x)在上具有二阶导数,且,但发散,排除(A).故应选(D).
【评注】也可直接证明(D)为正确选项.若,则存在,使得.在区间上应用拉格朗日中值定理,存在使得
又因为在上因此在上单调增加,于是对有
.
在区间上应用拉格朗日中值定理,存在使得,
即
故应选(D).
重要提示与例题见《经典讲义》P.19例1.40,例1.41、《真题
(二)P.80题2》及辅导班讲义例1.12
(7)二元函数f(x,y)在点(0,0)处可微的一个充分条件是
(A).
(B),且.
(C).
(D),且. 【】
【答案】应选(C).
【详解】选项(A)相当于已知f(x,y)在点(0,0)处连续,选项(B)相当于已知两个一阶偏导数存在,因此(A),(B)均不能保证f(x,y)在点(0,0)处可微。
选项(D)相当于已知两个一阶偏导数存在,但不能推导出两个一阶偏导函数在点(0,0)处连续,因此也不能保证f(x,y)在点(0,0)处可微。
若,则
,即同理有
从而
==0
根据可微的定义,知函数f(x,y)在(0,0)处可微,故应选(C).
几乎原题见《经典讲义》P.182例9.2,本题难度较大,概念性强
(8)设函数f(x,y)连续,则二次积分等于
(A).(B).
(C).(D).【】
【答案】应选(B).
【分析】先确定积分区域,画出示意图,再交换积分次序。
【详解】积分区域D:
也可表示为
D:
故=,应选(B).
【评注】确定y的取值范围时应注意:
当时,y=sinx=,于是,从而
完全类似例题见《经典讲义》P.208例10.13,例10.14,例10.15及辅导班讲义例10.9
(9)设向量组线性无关,则下列向量组线性相关的是
(A).(B).
(C).(D).【】
【答案】应选(A).
【详解1】直接可看出(A)中3个向量组有关系
即(A)中3个向量组有线性相关,所以选(A).
【详解2】用定义进行判定:
令
,
得.
因线性无关,所以
又,
故上述齐次线性方程组有非零解,即线性相关.类似可得(B),(C),(D)中的向量组都是线性无关的.
这是一个基本题,完全类似的问题见《经典讲义》P.314例3.5和辅导班上对应章节的例题
(10)设矩阵,,则A与B
(A)合同,且相似.(B)合同,但不相似.
(C)不合同,但相似.(D)既不合同,又不相似.【】
【答案】应选(B).
【详解】由得A的特征值为0,3,3,而B的特征值为0,1,1,从而A与B不相似.
又r(A)=r(B)=2,且A、B有相同的正惯性指数,因此A与B合同.故选(A).
【评注】1)若A与B相似,则|A|=|B|;r(A)=r(B);tr(A)=tr(B);A与B有相同的特征值.
2)若A、B为实对称矩阵,则A与B合同⇔r(A)=r(B),且A、B有相同的正惯性指数.
这是数学二首次要求考查的内容,完全类似的问题见《历年真题
(一)》P307的小结
二、填空题(11-16小题,每小题4分,共24分.把答案填在题中横线上.)
(11)=.
【答案】应填
【详解】=
=
完全类似例题见《经典讲义》P.14例1.24,例1.25及辅导班讲义例1.7.
(12)曲线上对应于的点处的法线斜率为.
【答案】应填
【详解】因为,于是,故法线斜率为
完全类似例题见《经典讲义》P.46例2.15,例2.16及辅导班讲义例2.14.
(13)设函数则=.
【答案】应填
【详解】
一般地,,
从而=
完全类似例题见《经典讲义》P.56例2.49,例2.50及辅导班讲义例2.16.
(14)二阶常系数非齐次线性微分方程的通解为.
【答案】其中为任意常数.
【详解】特征方程为,解得可见对应齐次线性微分方程的通解为
设非齐次线性微分方程的特解为,代入非齐次方程可得k=−2.故通解为
完全类似例题见《经典讲义》P.172例题8.7及辅导班讲义例8.9.
(15)设f(u,v)是二元可微函数,则.
【答案】
【详解】,,于是有
=
完全类似例题见辅导班讲义例9.6及《经典讲义》P199习题三1-3.
(16)设矩阵,则的秩为___________.
【答案】应填1.
【详解】依矩阵乘法直接计算得,故r()=1.
完全类似的问题见《经典讲义》P300题型七和辅导班上对应章节的例题
三、解答题:
17-24小题,共86分.
(17)(本题满分10分)
设f(x)是区间上的单调、可导函数,且满足
,
其中是f的反函数,求f(x).
【分析】等式两端先对x求导,再积分即可。
【详解】在等式两端先对x求导,得
,
即,也即.
于是
=
由题设知,f(0)=0,于是c=0,故
几乎原题见《经典讲义》P.50例2.28.
(18)(本题满分11分)
设D是位于曲线下方、x轴上方的无界区域。
()求区域D绕x轴旋转一周所成旋转体的体积V(a);
()当a为何值时,V(a)最小?
并求此最小值.
【分析】V(a)的可通过广义积分进行计算,再按通常方法求V(a)的最值即可。
【详解】()=
=
(),
得,即a=e.
由于a=e是惟一的驻点,是极小值点,也是最小值点,最小值为
【评注】事实上,当1e时,,V(a)单调增加,所以a=e是V(a)的极小值点,也是最小值点
完全类似例题见辅导班讲义例7.16及《经典讲义》P162习题17.
(19)(本题满分10分)
求微分方程满足初始条件的特解。
【分析】本题为可降阶的二阶微分方程,作变量代换即可。
【详解】令,则原方程化为
即,
其解为
利用u=,有C=0,于是,由知应取.
再由,积分得,代入初始条件y
(1)=1,得,
故满足初始条件的特解为.
完全类似例题见辅导班讲义例8.9及《经典讲义》P.171例8.6.
(20)(本题满分11分)
已知函数f(u)具有二阶导数,且,函数y=y(x)由方程所确定,设,求
【详解】,
在中,令x=0得y=1.而由两边对x求
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