勾股定理经典讲义Word文档格式.docx
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在中,若C=,,则
例3:
在Rt△ABC中,∠C=90°
,∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c.
(1)若a∶b=3∶4,c=75cm,求a、b;
(2)若a∶c=15∶17,b=24,求△ABC的面积;
(3)若c-a=4,b=16,求a、c;
(4)若∠A=30°
,c=24,求c边上的高hc;
(5)若a、b、c为连续整数,求a+b+c.
1、△ABC中,∠C=90°
,a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边.
(1)若a=5,b=12,则c=______;
(2)若c=41,a=40,则b=______;
(3)若∠A=30°
,a=1,则c=______,b=______;
(4)若∠A=45°
,a=1,则b=______,c=______.
2、如图是由边长为1m的正方形地砖铺设的地面示意图,小明沿图中所示的折线从A→B→C所走的路程为______.
3、等腰直角三角形的斜边为10,则腰长为______,斜边上的高为______.
4、在直角三角形中,一条直角边为11cm,另两边是两个连续自然数,则此直角三角形的周长为______.
5、如图,Rt△ABC中,∠C=90°
,∠A=30°
,BD是∠ABC的平分线,AD=20,求BC的长.
考点3、勾股定理的实际应用
例4:
如图1,公路MN和公路PQ在点P处交汇,且,点A处有一所中学,AP=160m,假设拖拉机行驶时,周围100m以内会受到影响,那么拖拉机在公路MN沿PN方向行驶时,学校是否会受到噪声的影响?
请说明理由,如果受影响,那么学校受影响的时间为多少长?
(已知拖拉机的速度为18km/h)
例5:
以下是小辰同学阅读的一份材料和思考:
图①图②图③
五个边长为1的小正方形如图①放置,用两条线段把它们分割成三部分(如图②),移动其中的两部分,与未移动的部分恰好拼接成一个无空隙无重叠的新正方形(如图③).
小辰阅读后发现,拼接前后图形的面积相等,若设新的正方形的边长为x(x>0),可得x2=5,x=.由此可知新正方形边长等于两个小正方形组成的矩形的对角线长.
参考上面的材料和小辰的思考方法,解决问题:
图④图⑤
五个边长为1的小正方形(如图④放置),用两条线段把它们分割成四部分,移动其中的两部分,与未移动的部分恰好拼接成一个无空隙无重叠的矩形,且所得矩形的邻边之比为1:
2.
具体要求如下:
(1)设拼接后的长方形的长为a,宽为b,则a的长度为;
(2)在图④中,画出符合题意的两条分割线(只要画出一种即可);
(3)在图⑤中,画出拼接后符合题意的长方形(只要画出一种即可)
6、有一块如图的木板,经过适当的剪切后,可拼成一块正方形板材,请在图中画出剪切线,并把剪切后的板材拼成的一个面积最大的正方形在图中画出(保留剪切痕迹,不写画法)
7、现场学习题
问题背景:
在△ABC中,AB、BC、AC三边的长分别为、、,求这个三角形的面积.
小辉同学在解答这道题时,先建立一个正方形网格(每个小正方形的边长为1),再在网格中画出格点△ABC(即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处),如图1所示.这样不需求△ABC的高,而借用网格就能计算出它的面积.
(1)请你将△ABC的面积直接填写在横线上________.
思维拓展:
(2)我们把上述求△ABC面积的方法叫做构图法.若△ABC三边的长分别为、、,请利用图2的正方形网格(每个小正方形的边长为)画出相应的△ABC,并求出它的面积是:
.
探索创新:
(3)若△ABC三边的长分别为、、,请运用构图法在图3指定区域内画出示意图,并求出△ABC的面积为:
.
8、如图,一架长25分米的梯子AB,斜立在一竖直的墙上,这时梯子底端距墙底7分米.如果梯子的顶端沿墙下滑4分米,梯子的底端的水平方向沿一条直线也将滑动4分米吗?
用所学知识,论证你的结论.
9、如图,一个机器人从A点出发,拐了几个直角的弯后到达B点位置,根据图中的数据,
点A和点B的直线距离是.
例6:
如图,两个村庄A、B在河CD的同侧,A、B两村到河的距离分别为AC=1千米,BD=3千米,CD=3千米.现要在河边CD上建造一水厂,向A、B两村送自来水.铺设水管的工程费用为每千米20000元,请你在CD上选择水厂位置O,使铺设水管的费用最省,并求出铺设水管的总费用W.
10、如图,在高为3米,斜坡长为5米的楼梯表面铺地毯,则地毯的长度至少需要多少米?
若楼梯宽2米,地毯每平方米30元,那么这块地毯需花多少元?
11、在一棵树的10米高B处有两只猴子,一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘的A处;
另一只爬到树顶D后直接跃到A处,距离以直线计算,如果两只猴子所经过的距离相等,则这棵树高多少米?
12、在平静的湖面上,有一支红莲,高出水面1米,一阵风吹来,红莲移到一边,花朵齐及水面,已知红莲移动的水平距离为2米,则这里的水深是米
考点4、勾股定理的逆定理
勾股定理逆定理:
勾股数:
F
E
D
例7:
如图,E、F分别是正方形ABCD中BC和CD边上的点,且AB=4,CE=BC,F为CD的中点,连接AF、AE,问△AEF是什么三角形?
请说明理由.
例8:
若△ABC的三边的长为a、b、c,根据下列条件判断△ABC的形状
(1)
(2)a-ab+ab-ac+bc-b=0
(3)若三边长分别为2n2+2n,2n+1,2n2+2n+1呢?
(n为正整数)
13、小丽和小芳二人同时从公园去图书馆,都是每分钟走50米,小丽走直线用了10分钟,小芳先去家拿钱再去图书馆,小芳到家用了6分钟,从家到图书馆用了8分钟,小芳从公园到图书馆拐了个(设公园到小芳家及小芳家到图书馆都是直线)()
A.锐角 B.直角 C.钝角 D.不能确定
14、如图,在单位正方形组成的网格图中标有AB、CD、EF、GH四条线段,其中能构成一个直角三角形三边的线段是()
A.CD、EF、GH B.AB、EF、GHC.AB、CD、GHD.AB、CD、EF
15、一个三角形的三边之比是3:
4:
5则这个三角形三边上的高之比是()
A.20:
15:
12 B.3:
5 C.5:
3 D.10:
8:
2
16、在下列说法中是错误的()
A.在△ABC中,∠C=∠A-∠B,则△ABC为直角三角形.
B.在△ABC中,若∠A:
∠B:
∠C=5:
2:
3,则△ABC为直角三角形.
C.在△ABC中,若a=c,b=c,则△ABC为直角三角形.
D.在△ABC中,若a:
b:
c=2:
4,则△ABC为直角三角形.
17、三角形的三边长分别为a2+b2、2ab、a2-b2(a、b都是正整数),则这个三角形是()
A.直角三角形B.钝角三角形C.锐角三角形D.不能确定
18、五根小木棒,其长度分别为7,15,20,24,25,现将他们摆成两个直角三角形,其中正确的是()
A.B.C.D.
19、若一个三角形的三边长分别为1、a、8(其中a为正整数),则以a-2、a、a+2为边的三角形的面积为______.
20、△ABC的两边a,b分别为5,12,另一边c为奇数,且a+b+c是3的倍数,则c应为______,此三角形为______.
21、已知a、b、c是△ABC的三边,且a2c2-b2c2=a4-b4,试判断三角形的形状
例9:
已知:
,∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c,设△ABC的面积为S,周长为l.
三边a、b、c
a+b-c
3、4、5
5、12、13
4
8、15、17
6
(1)填表:
(2)如果a+b-c=m,观察上表猜想:
(用含有m的代数式表示).
(3)证明
(2)中的结论.
22、观察下面表格中所给出的三个数a,b,c,其中a,b,c为正整数,且a<
b<
c
3+4=5
5+12=13
7、24、25
7+24=25
9、40、41
9+40=41
……..
……
21、b、c
21+b=c
(1)试找给他们的共同点,并证明你的结论
(2)当a=21时,求b,c的值
23、观察下列各式:
32+42=52,82+62=102,152+82=172,242+102=262,…,你有没有发现其中的规律?
请用含n的代数式表示此规律并证明,再根据规律写出接下来的式子.
考点5、勾股定理与面积
l
a
b
24、直线l上有三个正方形a、b、c,若a和c的面积分别为5和11,则b的面积为
25、如图所示,所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,其中最大的正方形的边长为7cm,正方形A,B,C的面积分别是8cm2,10cm2,14cm2,则正方形D的面积是cm2.
26、在直线l上依次摆放着七个正方形(如图所示),已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3,正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4,则S1+S2+S3+S4等于
27、有一块土地形状如图3所示,,AB=20米,BC=15米,CD=7米,
请计算这块土地的面积
28、如右图:
在四边形ABCD中,AB=2,CD=1,∠A=60°
,
求四边形ABCD的面积
29、如图所示的一块地,已知AD=4m,CD=3m,AD⊥DC,AB=13m,BC=12m,
求这块地的面积.
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