勾股定理竞赛试卷(含解答)Word文档格式.doc
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D.3
4、如图,P为正方形ABCD内一点,PA=PB=10,并且P点到CD边的距离也等于10,那么,正方形ABCD的面积是()
A.200;
B.225;
C.256;
D.150+10
5、如图,矩形ABCD中,AB=20,BC=10,若在AB、AC上各取一点N、M,使得BM+MN的值最小,这个最小值为()
B.10;
C.16;
D.20
二、填空题(每小题5分,共25分)第(5)题图
6、如图,△ABC中,AB=AC=2,BC边上有10个不同的点,记
(i=1,2,……,10),那么,=_________。
第(6)题图
7、如图,设∠MPN=20°
,A为OM上一点,OA=4,D为ON上一点,OD=8,C为AM上任一点,B是OD上任意一点,那么折线ABCD的长最小为__________。
第(7)题图第(8)题图
8、如图,四边形ABCD是直角梯形,且AB=BC=2AB,PA=1,PB=2,PC=3,那么梯形ABCD的面积=__________。
9、若x+y=12,那么的最小值=___________。
10、已知一个直角三角形的边长都是整数,且周长的数值等于面积的数值,那么这个三角形的三边长分别为____________。
三、解答题(共70分)
11、(本题10分)如图△ABC三边长分别是BC=17,CA=18,AB=19,过△ABC内的点P向△ABC三边分别作垂线PD,PE,PF,且BD+CE+AF=27,求BD+BF的长度。
12、(本题15分)如图,在△ABC中,AB=2,AC=,∠A=∠BCD=45°
,求BC的长及△BDC的面积。
13、(本题15分)设a,b,c,d都是正数。
求证:
14、(本题15分)如图,四边形ABCD中,∠ABC=135°
,∠BCD=120°
,AB=,BC=5-,CD=6,求AD。
15、(本题15分)如图,正方形ABCD内一点E,E到A、B、C三点的距离之和的最小值为,求此正方形的边长。
答案
一、选择题
1.C
2.A
3.B
4.C
5.C
解答:
1.∵MA=MB=MC=5,∴∠ACB=90°
知周长是24,则AC+BC=14,AC+BC=10,
∴2AC·
BC=(AC+BC)-(AC+BC)=14-10=4×
24
∴
2.如图,延长MN交BC的延长线于T,设MB的中点为O,连TO,则△BAM∽△TOB
∴AM:
MB=OB:
BT
∴MB=2AM·
BT
(1)
令DN=1,CT=MD=k,则AM=2–k
所以BM=
BT=2+k代入
(1),得4+(2–k)=2(2–k)(2+k)所以k=
所以AM:
AB=:
2=
3.如图,过O作EF⊥AD于E,交BC于F;
过O作GH⊥DC于G,交AB于H
设CF=x,FB=y,AH=s,HB=x,
所以OG=x,DG=s
所以OF=OB-BF=OC-CF即4-x=3-y
所以x-y=16–9=7
(1)
同理有OH=1-s=3-t
所以t-s=3-1=8
(2)
又因为OH+HB=OB即y+t=9
(1)-
(2)得(x+s)–(y+t)=–1
所以OD=x+s=(y+t)–1=9–1=8
所以OD=2
4.如图,过P作EF⊥AB于E,交CD于F,则PF⊥CD
所以PF=PA=PB=10,E为AB中点
设PE=x,则AB=AD=10+x
所以AE=AB=(10+x)
在Rt△PAE中,PA=PE+AE
所以10=x+[(10+x)]所以x=6
所以正方形ABCD面积=AB=(10+6)=256
5.如图,作B关于AC的对称点B,连AB,
则N点关于AC的对称点N在AB上,
这时,B到M到N的最小值等于B→M→N的最小值,等于B到AB的距离BH,连B与AB和DC的交点P,
则=×
20×
10=100,
由对称知识,∠PAC=∠BAC=∠PCA
所以PA=PC,令PA=x,则PC=x,PD=20–x,
在Rt△ADP中,PA=PD+AD
所以x=(20–x)+10所以x=12.5
因为=PA·
BH
所以BH=
二、填空题
1.40;
2.12;
3.;
4.13;
5.6,8,10或5,12,13
1.如图,作AD⊥BC于D,在Rt△ABD和Rt△APD中,AB=AD+BD
所以
所以所以
1.如图,作A关于ON的对称点A,D关于OM的对称点D,
连结AB,CD,则AB=AB,
CD=CD,从而AB+BC+CD=AB+BC+CD≥AD
因为∠AON=∠MON=∠MOD=20°
,所以∠AOD=60°
又因为OA=OA=4,OD=OD=8,
所以OD=2OA
即△ODA为直角三角形,且∠OAD=90°
所以AD=
所以,折线ABCD的长的最小值是12
3.如图,作PM⊥AB于M,PN⊥BC于N,
设AB=m,PM=x,PN=y,则
由
(2)、(3)分别得,
(3)
(4)
将
(1)代入(4)得
将
(1)代入(5)得
把x,y的表达式分别代入
(1)得
因为m>
0所以m=5+2
所以AB=
4.如图,AB=12,AC=2,BD=3,且AB⊥AC,AB⊥BD,P在AB上且PA=x,PB=y,连PC,PD,
在Rt△CAP和Rt△DBP中
如图,P点在位置时,PC+PD的值最小,为线段CD的长度,而
CD=
所以的最小值为13。
5.设三边长为a,b,c,其中c是斜边,则有
(2)代入
(1)得即
因为ab≠0所以ab–4a–4b+8=0
所以(a,b为正整数)
所以b–4=1,2,4,8,
所以b=5,6,8,12;
a=12,8,6,5;
c=13,10,10,13,
所以,三边长为6,8,10或5,12,13
三、解答题
1.如图,连结PA,PB,PC,设BD=x,CE=y,AF=z,
则DC=17-x,EA=18–y,FB=19–z
在Rt△PBD和Rt△PFB中,有
同理有:
将以上三式相加,得
即17x+18y+19z=487
又因为x+y+z=27,
所以x=z–1,
所以BD+BF=x+(19–z)=z–1+19–z=18
2.如图,作CE⊥AB于E,
则CE=AE=
所以BE=AB-AE=2-
又
所以BC=
再过D作DF⊥BC,交CB延长线于F,并设DF=CF=x,
则BF=x–BC=x+1-
又Rt△DFB∽Rt△CEB,
所以DF:
BF=CE:
BE,即x:
(x+1-)=
所以x=
2.如图,构造一个边长为(a+b)、(c+d)的矩形ABCD,
在Rt△ABE中,BE=
所以BE=
在Rt△BCF中,
BF=
在Rt△DEF中,EF=
在△BEF中,BE+EF>
BF
即
3.如图,过A作AE∥BC交CD于E,则∠1=45°
,∠2=60°
,
过B作BF⊥AE于F,作CG⊥AE于G,
则Rt△ABF为等腰直角三角形,BCFG为矩形,
又因为AB=,BC=5-,
所以BF=AF=AB=,所以CG=BF=,
所以CE=CG=2,EG=CG=1
所以AE=AF+FG+GE=AF+BC+GE=6
DE=CD-EC=6-2=4
过D作DM⊥AE延长线于M
∠MED=180°
-∠AED=180°
-∠BCD=180°
-120°
=60°
所以EM=DE=2,DM=DE=2
在Rt△AMD中,AD=
5.如图,以A为中心,将△ABE旋转60°
到△AMN,连NB,MB,则
AE+EB+EC=AN+MN+EC
因为AE=AN,∠NAE=60°
所以AE=NE
所以AE+EB+EC=MN+NE+EC
当AE+EB+EC取最小值时,折线MNEC成为线段,且MC=,∠MBC=150°
在Rt△PMC中,设BC=x,PM=
所以x=2,BC=2
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- 勾股定理 竞赛 试卷 解答