勾股定理专题复习及题型讲解Word文档格式.doc
- 文档编号:14643516
- 上传时间:2022-10-23
- 格式:DOC
- 页数:10
- 大小:628.50KB
勾股定理专题复习及题型讲解Word文档格式.doc
《勾股定理专题复习及题型讲解Word文档格式.doc》由会员分享,可在线阅读,更多相关《勾股定理专题复习及题型讲解Word文档格式.doc(10页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
网]
3、下列各组数分别为一个三角形三边的长,其中能构成直角三角形的一组是()
(A)(B)(C)(D)
4、直角三角形的面积为,斜边上的中线长为,则这个三角形周长为()
(A)(B)
(C)(D)
解:
设两直角边分别为,斜边为,则,.
由勾股定理,得.
所以.
所以.所以.
故选(C)
5、直角三角形的三边是,并且都是正整数,则三角形其中一边的长可能是()
(A)61(B)71(C)81(D)91
因为.根据题意,有.
整理,得.所以.
即该直角三角形的三边长是.
因为只有81是3的倍数.
6、在中,,则边的长为______.
7、直角三角形的三边是,并且都是正整数,则三角形其中一边的长可能是()
(二)勾股定理的验证及其验证过程的相关应用
1、下图甲是任意一个直角三角形ABC,它的两条直角边的边长分别为a、b,斜边长为c.如图乙、丙那样分别取四个与直角三角形ABC全等的三角形,放在边长为a+b的正方形内.
①图乙和图丙中
(1)
(2)(3)是否为正方形?
为什么?
②图中
(1)
(2)(3)的面积分别是多少?
③图中
(1)
(2)的面积之和是多少?
④图中
(1)
(2)的面积之和与正方形(3)的面积有什么关系?
由此你能得到关于直角三角形三边长的关系吗?
参考答案
①图乙、图丙中
(1)
(2)(3)都是正方形.易得
(1)是以a为边长的正方形,
(2)是以b为边长的正方形,(3)的四条边长都是c,且每个角都是直角,所以(3)是以c为边长的正方形.
②图中
(1)的面积为a2,
(2)的面积为b2,(3)的面积为c2.
③图中
(1)
(2)面积之和为a2+b2.
④图中
(1)
(2)面积之和等于(3)的面积.
因为图乙、图丙都是以a+b为边长的正方形,它们面积相等,
(1)
(2)的面积之和与(3)的面积都等于(a+b)2减去四个Rt△ABC的面积.
由此可得:
任意直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方,即勾股定理.
2、
(1)请你动动脑筋,能否验证这个事实呢?
该如何考虑呢?
(2)请你观察下列图形,直角三角形ABC的两条直角边的长分别为AC=7,BC=4,请你研究这个直角三角形的斜边AB的长的平方是否等于42+72?
(1)边长的平方即以此边长为边的正方形的面积,故可通过面积验证.分别以这个直角三角形的三边为边向外做正方形,如右图:
AC=4,BC=3,
S正方形ABED=S正方形FCGH-4SRt△ABC
=(3+4)2-4×
×
3×
4=72-24=25
即AB2=25,又AC=4,BC=3,
AC2+BC2=42+32=25
∴AB2=AC2+BC2
(2)如图(图见题干中图)
S正方形ABED=S正方形KLCJ-4SRt△ABC=(4+7)2-4×
4×
7=121-56=65=42+72
3、如图2,以三角形的三边为直径分别向三角形外侧作半圆,其中两个半圆的面积和等于另一个半圆的面积,则此三角形的形状为_____.
根据题意,有,即
.
整理,得.
故此三角形为直角三角形.
4、如图4,已知中,,以的各边为边在外作三个正方形,分别表示这三个正方形的面积,,则
解:
由勾股定理,知,即,所以.
图5
5.如图5,已知,中,,从直角三角形两个锐角顶点所引的中线的长,则斜边之长为______.
、是中线,设,由已知,,
所以两式相加,
得,所以
(三)勾股定理的应用
1、在一个直角三角形中,若斜边的长是,一条直角边的长为,那么这个
直角三角形的面积是()
(A)(B)(C)(D)
由勾股定理知,另一条直角边的长为,所以这个直角三角形的面积为.
2、如图1,一架2.5米长的梯子,斜靠在一竖直的墙上,这时梯足到墙底端的距离为0.7米,如果梯子的顶端下滑0.4米,则梯足将向外移()
(A)0.6米(B)0.7米(C)0.8米(D)0.9米
依题设.在中,由勾股定理,得
图1
由,
得.
在中,由勾股定理,得
所以
故选(C)
3、如图3,有两棵树,一棵高8米,另一棵高2米,两树相距8米,一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢,则它至少要飞行_____米.
由勾股定理,知最短距离为.
4、
(四)直角三角形的判别
1、下列各组数中以a,b,c为边的三角形不是Rt△的是
A、a=2,b=3,c=4 B、a=7,b=24,c=25
C、a=6,b=8,c=10 D、a=3,b=4,c=5
2、如果一个三角形的一条边是另一边的2倍,并且有一个角是,那么这个三角形的形状是()
A.直角三角形B.钝角三角形C.锐角三角形D.不能确定
3、
4、如图,在等腰直角的斜边上取异于的两点,使求证:
以为边的三角形是直角三角形。
略(提示:
分别以AE,AF为轴,将内部翻转)
5、如果一个三角形的三边长分别为,则这三角形是直角三角形
分析:
验证三边是否符合勾股定量的逆定理
证明:
∵∴∵∠C=
6、 已知:
如图,四边形ABCD中,∠B=,AB=3,BC=4,CD=12,AD=13求四边形ABCD的面积
我们不知道这个四边形是否为特殊的四边形,所以将四边形分割为两个三角形,只要求出这两个三角形的面积,四边形的面积就等于这两个三角形的面积和.
(五)利用勾股定理求最短路线
1、如图,有一个高1.5米,半径是1米的圆柱形
油桶,在靠近边的地方有一小孔,从孔中插入
一铁棒,已知铁棒在油桶外的部分是0.5米,
问这根铁棒最长应有多长?
2、在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题,这个问题的意思是:
有一个水池,水面是一个边长为10尺的正方形.在水池正中央有一根新生的芦苇,它高出水面1尺.如果把这根芦苇垂直拉向岸边,它的顶端恰好到达岸边的水面.请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各为多少?
勾股定理中的常见题型例析
勾股定理是几何计算中运用最多的一个知识点.考查的主要方式是将其综合到几何应用的解答题中,常见的题型有以下几种:
一、探究开放题
例1如图1,设四边形ABCD是边长为1的正方形,以正方形ABCD的对角线AC为边作第二个正方形ACEF,再以第二个正方形的对角线AE为边作第三个正方形AEGH,如此下去…….
(1)记正方形ABCD的边长为=1,依上述方法所作的正方形的边长依次为,,,…,,求出,,的值.
(2)根据以上规律写出第n个正方形的边长的表达式.
分析:
依次运用勾股定理求出a2,a3,a4,再观察、归纳出一般规律.
(1)∵四边形ABCD为正方形,∴AB=BC=CD=AD=1.
由勾股定理,得AC=,
同理,AE=2,EH=.即a2=,a3=2,a4=.
(2)∵,,,,
∴.
点拨:
探究开放题形式新颖、思考方向不确定,因此综合性和逻辑性较强,它着力于考查观察、分析、比较、归纳、推理等方面的能力,对提高同学们的思维品质和解决问题的能力具有十分重要的作用.
二、动手操作题
例2如图2,图(1)是用硬纸板做成的两个全等的直角三角形,两条直角边长分别为a和b,斜边长为c.图(2)是以c为直角边的等腰直角三角形.请你开动脑筋,将它们拼成一个能证明勾股定理的图形.
(1)画出拼成的这个图形的示意图,写出它是什么图形;
(2)用这个图形证明勾股定理;
(3)假设图(1)中的直角三角形有苦干个,你能运用图(1)所给的直角三角形拼出另一种能证明勾股定理的图形吗?
请画出拼后的示意图(无需证明).
(1)所拼图形图3所示,它是一个直角梯形.
(2)由于这个梯形的两底分别为a、b,腰为(a+b),所以梯形的面积为.又因为这个梯形的面积等于三个直角三角形的面积和,所以梯形的面积又可表示为:
.
∴.∴.
(3)所拼图形如图4.
动手操作题内容丰富,解法灵活,有利于考查解题者的动手能力和创新设计的才能。
本题通过巧妙构图,然后运用面积之间的关系来验证勾股定理。
三、阅读理解题
例3已知a,b,c为△ABC的三边且满足a2c2-b2c2=a4-b4,试判断△ABC的形状.小明同学是这样解答的.
∵a2c2-b2c2=a4-b4,∴
∴.订正:
∴△ABC是直角三角形.
横线与问号是老师给他的批注,老师还写了如下评语:
“你的解题思路很清晰,但解题过程中出现了错误,相信你再思考一下,一定能写出完整的解题过程.”请你帮助小明订正此题,好吗?
这类阅读题在展现问题全貌的同时,在关键处留下疑问点,让同学们认真思考,以补充欠缺的部分,这相当于提示了整体思路,而让学生在整体理解的基础上给予具体的补缺.因此,本题可作如下订正:
∵a2c2-b2c2=a4-b4,∴.
∴,∴或.
∴或.∴△ABC是等腰三角形或直角三角形.
阅读理解题它与高考中兴起的信息迁移题有异曲同工之巧.解决的关键是抓住疑问点,补全漏洞.
四、方案设计题
例4给你一根长为30cm的木棒,现要你截成三段,做一个直角三角形,怎样截取(允许有余料)?
请你设计三种方案.
构造直角三角形,可根据勾股定理的逆定理来解决.
方案一:
分别截取3cm,4cm,5cm;
方案二:
分别截取6cm,8cm,10cm;
方案三:
分别截取5cm,12cm,13cm.
本题首先依据勾股定理的逆定理进行分析,设计出方案,然后再通过测量、截取、加工等活动方能完成.既要思考,又要动手.让学生在这个过程中,体会做数学的快乐.
五、折叠题
1、矩形纸片中,厘米,厘米,现将重合,
使纸片折叠压平,设折痕为,重叠部分AEF的面积
六、实际应用题
C
1、为了丰富少年儿童的业余生活,某社区要在如图所示AB所在的直线建一图书室,本社区有两所学校所在的位置在点C和点D处,CA⊥AB于A,DB⊥AB于B,已知AB=25km,CA=15km,DB=10km,试问:
图书室E应该建在距点A多少km处,才能使它到两所学校的距离相等?
(8分)
七、极具“热点”的动态探究题
1、如图1,一架长4米的梯子AB斜靠在与地面OM垂直的墙壁ON上,梯子与地面的倾斜角α为.
⑴求AO与BO的长;
⑵若梯子顶端A沿NO下滑,同时底端B沿OM向右滑行.如图2,设A点下滑到C点,B点向右滑行到D点,并且AC:
BD=2:
3,试计算梯子顶端A沿NO下滑多少米?
中考题型分析
1、(2011四川凉山州,15,4
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 勾股定理 专题 复习 题型 讲解