勾股定理中四种重要的数学思想文档格式.doc
- 文档编号:14643514
- 上传时间:2022-10-23
- 格式:DOC
- 页数:5
- 大小:152KB
勾股定理中四种重要的数学思想文档格式.doc
《勾股定理中四种重要的数学思想文档格式.doc》由会员分享,可在线阅读,更多相关《勾股定理中四种重要的数学思想文档格式.doc(5页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
勾股定理本身就是反应了直角三角形中三边的关系.所以在勾股定理的应用中最常见也是最基本的一类问题就在直角三角形中已知两边求第三边的问题,或是关于此类问题的变形题.而方程思想在勾股定理关于此类问题的求解过程中都得到了广泛的运用.
1.1求距离长度问题
例1:
有一个水池,水面是一个边长为10尺的正方形,在水池正中央有一根芦苇,它高出水面1尺.如果把这根芦苇拉向水池一边的中点,它的顶端恰好到达池边的水面.水的深度与这根芦苇的长度分别是多少?
分析:
在Rt△ABC中,只有BC边的长度,利用勾股定理求一边的长度,还要知道另一边的长度.因此可以通过设立未知量,建立方程求解.
解:
设:
水的深度为AB为x尺,则芦苇的长度AC(AD)为(x+1)尺.
依题意可以得到如图1所示的图形
∵在Rt△ABC中,BC=5尺,根据勾股定理可得方程
(x+1)²
=x²
+5²
解得x=12∴x+1=13
则水的深度为12尺,芦苇的长度为13尺.图1
1.2折纸问题
例2如图所示,把一个长方形(四个角都是直角,对边相等)折叠,恰好点D落边BC上,交BC与点F.已知AB=8cm,BC=10cm,求EC的长.
Rt△AEF,是Rt△AED沿边AE边折叠的,所以就可以通过折叠中对称的性质得到许多的等量,在矩形中的折叠可以得到许多的直角三角形.要求EC边长,构造直角三角形,找出EC边所在的直角三角形,在根据勾股定理,找出所需的量以及各个量之间的关系.在已知量与为质量之间建立方程关系.
解:
由题意,得AF=AD,DE=EF.
图2
在Rt△ABF中,AB=8cm,AF=AD=10cm,
∴BF=(cm).
∵BC=10cm,∴CF=10-6=4(cm).
设CE=xcm,则DE=(8-x)cm,
∴EF=DE=(8-x)cm,在Rt△CEF中,根据勾股定理可得方程
4²
+x²
=(8-x)²
解得x=3,故EC的长为3cm
2数形结合思想
数形结合是数学解题中常用的一种数学方法,它也是一种数学思想.使用数形结合的方法,很多问题都能迎刃而解,且解法简捷.所谓数形结合就是根据数与形之间的对应关系,通过“数”与“形”之间相互结合,相互渗透、相互转化,将反映问题的抽象数量关系与直观图形结合起来,也是将抽象思维与形象思维有机的结合起来的一种解决数学问题的重要思想方法.
数形结合思想通过“以形助数,以数解形”,将数量关系和空间形式巧妙结合,使复杂问题简单化,抽象问题具体化,有助于把握数学问题的本质,发现问题中所隐含的条件。
它是数学的规律性与灵活性的有机结合.
勾股定理揭示了直角三角形三边之间的数量关系——如果在直角三角形三边的两直角边长分别为a,b,斜边为c,那么a²
.定理的本身实现了由“形”的特点与“数”特点的结合.因此不管是在定理本身的证明还是在定理的应用都经常运用到数形结合的思想.
2.1方位问题:
方位问题是勾股定理实际运用的重要体现.也是数形结合的典型列子.
例3:
台风是一种自然灾害,它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴,有极强的破坏性.如图所示,据气象部门观测,距沿海某城市A的正南方向220kmB处有一台风中心,其中心最大风力为12级,每远离台风中心20km,风力就会减弱一级,该台风中心现正以15km/h的速度沿北偏东30°
方向往C处移动,且台风中心风力不变.若城市所受风力达到或超过4级,则称为受台风影响.
根据图形找出距离A点最近的台风中心的位置,求出距离就可以判断是否收到影响,影响的风力.根据题意可以在图形上直观得找到所受影响的范围,构造直角三角形,根据勾股定理就可以求出范围及影响的时间.
(1)该城市是否会受到这次台风的影响?
请说明理由;
(2)若会受到台风影响,则台风影响该城市持续时间有多长.
(3)该城市受到台风影响的最大风力为几级.
(1)作AD⊥BC于D,AD为城市A距台风中心的最短距离,在Rt△ABD中,
∠B=30°
,AB=220km.
∴AD=AB=110km.
由题意知,当点A距离台风(12-4)×
20=160(km)时,将会受到台风的影响,故该城市会受到台风的影响.
(2)由题意知,当A点距台风中心不超过160km时,将会受到台风的影响,则以A点为圆心,以160km长为半径画弧,交BC于E、F两点,此时AE=AF=160km,当台风中心从E移到F处时,该城市都会受到台风影响,由勾股定理得
DE=(km).
EF=2DE=(km)
∴这次台风影响该城市的时间为(h).
(3)当台风中心位于D时A市受这次台风影响的风力最大,最大风力为12-=6.5(级).
图3
3分类思想
分类的思想是自然科学乃至社会科学研究中经常用到的,又叫做逻辑划分.不论从宏观上还是从微观上对研究对象进行分类,都是深化研究对象、发展科学必不可少的思想.因此分类思想既是一种逻辑方法,也是一种数学思想.
数学中的分类思想主要是依据数学研究对象本质属性的相同点和差异点,将数学对象分为不同种类的思想.当解决数学问题时,由于研究问题过程中出现了不同情况,因而需对不同情况进行分类,然后对划分的每一类分别进行研究和求解。
运用分类的思想,通过正确的分类,可以使复杂的问题得到清晰、完整、严密的解答.利于提高学生严密的逻辑推理能力和良好的思维品质.通过分类讨论,常能化繁为简,更清楚地暴露问题的本质.应用分类讨论思想解决问题,必须保证分类科学、统一,不重复,不遗漏,并力求最简.
在勾股定理中,主要应用分类思想来进行对三角形形状的分类讨论或对已知边或点所在的位置进行分类讨论,完整地求解。
例4在△ABC中,AB=13,AC=15,高AD=12,则△ABC的周长为多少.
分析:
可以对三角形的形状进行分类,不同的形状高线的位置不同:
锐角三角形的高线在三角形的内部,钝角三角形的高线在三角形的外部,而BC求解随高线位置的不同而不同.所以必须分类来讨论三角形的形状.
(1)如图4,如果该三角形是锐角三角形时当BC边上的高线在△ABC内部时,如图所示:
∵AD⊥BC
图4
∴∠ADB=∠ADC=90°
,
∴△ADB与△ADC为直角三角形.
在Rt△ADB中,AB=13,AD=12,根据勾股定理得
BD²
=AB²
-AD²
∴BD==5
在Rt△ADC中,AC=13,AD=12,根据勾股定理得
DC²
=AC²
∴DC==9
图5
∴BC=BD+DC=5+9=14.
△ABC的周长=AB+BC+CA=13+15+14=42
(2)如图5,如果该三角形是钝角三角形时,BC边上的高线在△ABC外部时,同理可得:
BC=BD-DC=9-5=4
△ABC的周长=AB+BC+CA=13+15+4=32.
例5有一个面积为160m²
的等腰三角形草地,测得它的一边长为20m.现要给这块三角形草四周围上低矮栅栏,则栅栏的长度为____m.
要完整的给出答案就要根据不同的情况进行分类.避免造成漏解.本题只给出了等腰三角形的一条边长,结果随已知边位置的不同而不同,所以,可以先对已知的边长进行分类:
该边可以为等腰三角形的底,也可以为等腰三角形的腰;
其次,对三角形的形状进行分类:
当已知边为等腰三角形的腰时,这边上的高既可以在形内,也可以在形外.要完整的给出答案就要根据不同的情况进行分类.避免造成漏解.
(1)如图6,当已知边为等腰三角形的底时,BC=20m.
图6
作AD⊥BC于D,∵=160m²
∴高AD=16(m).
∵BD=BC=10(m),在Rt△ADB中,由勾股定理可求得:
AB=,因此栅栏的长度为20+(m).
(2)当已知边为等腰三角形的腰时,①若腰上的高在形内,
如图7,AB=AC=20m,
∵=160m²
∴高BD=16m,在Rt△ABD中,由勾股定理可求得AD=12m,
图7
∴CD=8m,在Rt△BCD中,由勾股定理有BC=,
从而栅栏的长为40+(m).
②若腰上的高在形外,如图8,AB=AC=20m,
∴高BD=16m,在Rt△ABD中,由勾股定理知AD=12m,从而DC=32m.
∴在Rt△BCD中,由勾股定理有BC=m,所以栅栏的长度为40+(m)
图8
综上所述,答案应填入20+或40十或40+.
4转换思想
转换也是数学中的一种常用重要思维方法,它是分析问题和解决问题的一种重要思想,它能将未知的问题转化为已知的问题,把抽象的问题转化为具体的问题,把复杂的问题转化成简单的问题.
勾股定理研究的是平面直角三角形中三边之间的关系.但在学习过程中时常会遇到立体图形上的问题,这时就要考虑到运用转换的思想,把立体图进行展开等变化,形成熟悉的平面图形,再利用平面几何的知识进行求解.
例6一长方体礼盒如图9所示,其中AB,CD面为边长为10的正方形,BC=20.在底部A处有壁虎,处有一蚊子,壁虎急于捕捉到坟子充饥.
(l)试确定壁虎所走的最短路线;
(2)若立方体礼盒的棱长为10cm,壁虎要在半分钟内捕捉到坟子,求壁虎的每分钟至少
爬行多少厘米(保留整数)?
求长方体表面两点间的最短距离时,就可以应用转换的思想通将长方体表面展开,把立体图形转换成平面图形,就可以利用平面几何的知识于进行求解.
(1)若把礼盒的上底面A,,,竖立起来,如图9所示,使它与立方体的正面(ABB)在同一平面内,然后连结A,根据“两点间线段最短”知,线段A就是壁虎捕捉蚊子所走的最短路线.
(2)由
(1)得,△AB是直角三角形,且AB=10,B=15,根据勾股定理,得
A==≈26.93(cm)
壁虎要在半分钟内捕捉到蚊子,它至少每分钟爬行约54厘米.
图9
例7有一圆柱物体,如图所示,一只蚂蚁要从A点绕物体的外壁爬行,正好到A的正上方相对的B点处,问蚂蚁爬行的最短路径是多少.(已知物体的地面半径是2m,高是4m.)
解此题的关键是利用转换思想,把圆柱体的侧面展开,得到一个矩形,找出对应的A,B点在展开图中的位置利用两点间的线段最短与勾股定理知识作答.
把圆柱体沿AD边展开,形成一个矩形,A,B点在矩形中的位置如图所示.
连接AB,根据“两点间线段最短”,则线段AB就是蚂蚁爬行的最短
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 勾股定理 中四种 重要 数学 思想