初二数学期中压轴题Word格式.docx
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5.在Rt△ABC中,∠C=90°
,D是BC边上的一点,BD=AD=8,∠ADC=60°
,
求△ABC的面积.
6.在甲村至乙村的公路有一块山地正在开发,现有一C处需要爆破.已知点C与公路上的停靠站A的距离为300米,与公路上的另一停靠站B的距离为400米,且CA⊥CB,如图所示.为了安全起见,爆破点C周围半径250米范围内不得进入,问在进行爆破时,公路AB段是否有危险而需要暂时封锁?
请通过计算进行说明.
7.在直角△ABC中,∠ACB=90°
,∠B=30°
,CD⊥AB于D,CE是△ABC的角平分线.
(1)求∠DCE的度数.
(2)若∠CEF=135°
,求证:
EF∥BC.
8.如图,在笔直的铁路上A、B两点相距25km,C、D为两村庄,DA=10km,CB=15km,DA⊥AB于A,CB⊥AB于B,现要在AB上建一个中转站E,使得C、D两村到E站的距离相等.求E应建在距A多远处?
9.有一次,小明坐着轮船由A点出发沿正东方向AN航行,在A点望湖中小岛M,测得∠MAN=30°
,航行100米到达B点时,测得∠MBN=45°
,你能算出A点与湖中小岛M的距离吗?
10.如图,在高为3米,斜坡长为5米的楼梯表面铺地毯,则地毯的长度至少需要多少米?
若楼梯宽2米,地毯每平方米30元,那么这块地毯需花多少元?
11.附加题:
如图等腰△ABC的底边长为8cm,腰长为5cm,一个动点P在底边上从B向C以O.25cm/s的速度移动,请你探究,当P运动几秒时,P点与顶点A的连线PA与腰垂直.
12.如图,四边形ABCD,AB=AD=2,BC=3,CD=1,∠A=90°
,求∠ADC的度数.
13.如图,把矩形纸片ABCD沿EF折叠,使点B落在边AD上的点B′处,点A落在点A′处;
(1)求证:
B′E=BF;
(2)设AE=a,AB=b,BF=c,
试猜想a,b,c之间的一种关系,并给予证明.
参考答案与试题解析
【分析】根据等腰直角三角形的性质结合三角形的面积公式可得出部分Sn的值,根据面积的变化即可找出变化规律“Sn=4×
”,依此规律即可解决问题.
【解答】解:
观察,发现:
S1=22=4,S2==2,S3==1,S4==,…,
∴Sn==4×
∴S2016=4×
=.
故选C.
【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质、三角形的面积、正方形的面积以及规律型中数字的变化类,根据面积的变化找出变化规律“Sn=4×
”是解题的关键.
【分析】利用图中的格点可以得到直角三角形,然后利用勾股定理求得线段AB的长,然后乘以单位长度即可得到AB两点间的距离.
如图:
BC⊥AC,且BC=3个单位长度,AC=4个单位长度,
由勾股定理得:
AB===5,
∴A、B两地之间的距离为5×
38=190千米,
故选A.
.
【点评】本题考查了勾股定理的应用,解决此类题目的关键是从实际问题中整理出直角三角形模型,并利用勾股定理求解.
【分析】
(1)连接AC,再利用勾股定理列式求出AB2、BC2、AC2,然后利用勾股定理逆定理解答;
(2)类似于
(1)的图形解答.
(1)如图,连接AC,
由勾股定理得,AB2=12+22=5,
BC2=12+22=5,
AC2=12+32=10,
∴AB2+BC2=AC2,AB=BC,
∴△ABC是直角三角形,∠ABC=90°
∴AB⊥BC,
综上所述,AB与BC的关系为:
AB⊥BC且AB=BC;
(2)∠α+∠β=45°
证明如下:
如图,由勾股定理得,AB2=12+22=5,
∴AB2+BC2=AC2,
∴△ABC是直角三角形,
∵AB=BC,
∴△ABC是等腰直角三角形,
∴∠α+∠β=45°
【点评】本题考查了勾股定理,勾股定理逆定理,等腰直角三角形的判定与性质,熟练掌握网格结构以及勾股定理和逆定理是解题的关键.
【分析】设BD=x,由CD=BC﹣BD表示出CD,分别在直角三角形ABD与直角三角形ACD中,利用勾股定理表示出AD2,列出关于x的方程,求出方程的解得到AD的长,即可求出三角形ABC面积.
如图,在△ABC中,AB=15,BC=14,AC=13,
设BD=x,则有CD=14﹣x,
AD2=AB2﹣BD2=152﹣x2,AD2=AC2﹣CD2=132﹣(14﹣x)2,
∴152﹣x2=132﹣(14﹣x)2,
解之得:
x=9,
∴AD=12,
∴S△ABC=BC•AD=×
14×
12=84.
【点评】此题考查了勾股定理,熟练掌握勾股定理是解本题的关键.
,求△ABC的面积.
【分析】由在Rt△ABC中,∠C=90°
,∠ADC=60°
,故可得出∠CAD=30°
,再由直角三角形的性质求出CD的长,利用勾股定理得出AC的长,进而可得出BC的长,由三角形的面积公式即可得出结论.
∵∠C=90°
∴∠CAD=30°
∵AD=8,
∴CD=AD=4,
∴AC===4,
∴BC=CD+BD=4+8=12,
∴S△ABC=AC•BC=×
4×
12=24.
【点评】本题考查的是勾股定理及直角三角形的性质,熟知在任何一个直角三角形中,两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键.
【分析】过C作CD⊥AB于D.根据BC=400米,AC=300米,∠ACB=90°
,利用根据勾股定理有AB=500米.利用S△ABC=AB•CD=BC•AC得到CD=240米.再根据240米<250米可以判断有危险.
公路AB需要暂时封锁.
理由如下:
如图,过C作CD⊥AB于D.
因为BC=400米,AC=300米,∠ACB=90°
所以根据勾股定理有AB=500米.
因为S△ABC=AB•CD=BC•AC
所以CD===240米.
由于240米<250米,故有危险,
因此AB段公路需要暂时封锁.
【点评】本题考查了勾股定理的应用,解题的关键是构造直角三角形,以便利用勾股定理.
(1)求∠DCE的度数.
(2)若∠CEF=135°
(1)由图示知∠DCE=∠DCB﹣∠ECB,由∠B=30°
,CD⊥AB于D,利用内角和定理,求出∠DCB的度数,又由角平分线定义得∠ECB=∠ACB,则∠DCE的度数可求;
(2)根据∠CEF+∠ECB=180°
,由同旁内角互补,两直线平行可以证明EF∥BC.
∵∠B=30°
,CD⊥AB于D,
∴∠DCB=90°
﹣∠B=60°
∵CE平分∠ACB,∠ACB=90°
∴∠ECB=∠ACB=45°
∴∠DCE=∠DCB﹣∠ECB=60°
﹣45°
=15°
;
(2)∵∠CEF=135°
,∠ECB=∠ACB=45°
∴∠CEF+∠ECB=180°
∴EF∥BC.
【点评】本题主要考查三角形内角和定理,角平分线的定义,平行线的判定,解答的关键是沟通未知角和已知角的关系.
【分析】根据题意设出E点坐标,再由勾股定理列出方程求解即可.
设AE=x,则BE=25﹣x,
在Rt△ADE中,
DE2=AD2+AE2=102+x2,
在Rt△BCE中,
CE2=BC2+BE2=152+(25﹣x)2,
由题意可知:
DE=CE,
所以:
102+x2=152+(25﹣x)2,
解得:
x=15km.(6分)
所以,E应建在距A点15km处.
【点评】本题考查正确运用勾股定理,善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键.
,航行100米到达B点时,测得∠MBN=4
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