初中数学锐角三角函数提高题与常考题型和培优题(含解析)文档格式.doc
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4的正方形方格中,△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形顶点上,则tan∠ACB的值为( )
A. B. C. D.3
6.在Rt△ABC中,各边都扩大3倍,则角A的正弦值( )
A.扩大3倍 B.缩小3倍 C.不变 D.不能确定
7.如图,港口A在观测站O的正东方向,OA=6km,某船从港口A出发,沿北偏东15°
方向航行一段距离后到达B处,此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°
的方向,则该船航行的距离(即AB的长)为( )
A.3km B.3km C.4km D.(3﹣3)km
8.如图,在2×
2的网格中,以顶点O为圆心,以2个单位长度为半径作圆弧,交图中格线于点A,则tan∠ABO的值为( )
A. B.2 C. D.3
9.如图,在网格中,小正方形的边长均为1,点A,B,C都在格点上,则∠ABC的正切值是( )
A.2 B. C. D.
10.如图,点D(0,3),O(0,0),C(4,0)在⊙A上,BD是⊙A的一条弦,则sin∠OBD=( )
11.如图,已知在Rt△ABC中,∠ABC=90°
,点D沿BC自B向C运动(点D与点B、C不重合),作BE⊥AD于E,CF⊥AD于F,则BE+CF的值( )
A.不变 B.增大 C.减小 D.先变大再变小
二.填空题(共12小题)
12.如果等腰三角形的腰与底边的比是5:
6,那么底角的余弦值等于 .
13.如图,△ABC中∠C=90°
,若CD⊥AB于D,且BD=4,AD=9,则tanA= .
14.如图,在△ABC中,∠C=90°
,AC=3,BC=2,边AB的垂直平分线交AC边于点D,交AB边于点E,联结DB,那么tan∠DBC的值是 .
15.如图,小明家所在小区的前后两栋楼AB、CD,小明在自己所住楼AB的底部A处,利用对面楼CD墙上玻璃(与地面垂直)的反光,测得楼AB顶部B处的仰角是α,若tanα=0.45,两楼的间距为30米,则小明家所住楼AB的高度是 米.
16.如图,在边长相同的小正方形网格中,点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上,AB,CD相交于点P,则的值= ,tan∠APD的值= .
17.如图,在半径为3的⊙O中,直径AB与弦CD相交于点E,连接AC,BD,若AC=2,则tanD= .
18.如图,在直角坐标系中,点A,B分别在x轴,y轴上,点A的坐标为(﹣1,0),∠ABO=30°
,线段PQ的端点P从点O出发,沿△OBA的边按O→B→A→O运动一周,同时另一端点Q随之在x轴的非负半轴上运动,如果PQ=,那么当点P运动一周时,点Q运动的总路程为 .
19.如图,测量河宽AB(假设河的两岸平行),在C点测得∠ACB=30°
,D点测得∠ADB=60°
,又CD=60m,则河宽AB为 m(结果保留根号).
20.如图,∠AOB是放置在正方形网格中的一个角,则cos∠AOB的值是 .
21.如图,P(12,a)在反比例函数图象上,PH⊥x轴于H,则tan∠POH的值为 .
22.已知cosα=,则的值等于 .
23.如图,△ABC的三个顶点分别在边长为1的正方形网格的格点上,则tan(α+β) tanα+tanβ.(填“>”“=”“<”)
三.解答题(共17小题)
24.计算:
cos245°
+﹣•tan30°
.
25.计算:
2cos230°
﹣sin30°
+.
26.如图,在△ABC中,∠C=150°
,AC=4,tanB=.
(1)求BC的长;
(2)利用此图形求tan15°
的值(精确到0.1,参考数据:
=1.4,=1.7,=2.2)
27.如图,已知四边形ABCD中,∠ABC=90°
,∠ADC=90°
,AB=6,CD=4,BC的延长线与AD的延长线交于点E.
(1)若∠A=60°
,求BC的长;
(2)若sinA=,求AD的长.
(注意:
本题中的计算过程和结果均保留根号)
28.如图,在四边形ABCD中,∠BCD是钝角,AB=AD,BD平分∠ABC,若CD=3,BD=,sin∠DBC=,求对角线AC的长.
29.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°
,AC=BC=3,点D在边AC上,且AD=2CD,DE⊥AB,垂足为点E,联结CE,求:
(1)线段BE的长;
(2)∠ECB的余切值.
30.如图,在正方形ABCD中,M是AD的中点,BE=3AE,试求sin∠ECM的值.
31.如图,△ABC中,∠ACB=90°
,sinA=,BC=8,D是AB中点,过点B作直线CD的垂线,垂足为点E.
(1)求线段CD的长;
(2)求cos∠ABE的值.
32.如图,已知∠MON=25°
,矩形ABCD的边BC在OM上,对角线AC⊥ON.当AC=5时,求AD的长.(参考数据:
sin25°
=0.42;
cos25°
=0.91;
tan25°
=0.47,结果精确到0.1)
33.一副直角三角板如图放置,点C在FD的延长线上,AB∥CF,∠F=∠ACB=90°
,∠E=45°
,∠A=60°
,BC=10,试求CD的长.
34.已知:
如图,在△ABC中,∠ABC=45°
,AD是BC边上的中线,过点D作DE⊥AB于点E,且sin∠DAB=,DB=3.求:
(1)AB的长;
(2)∠CAB的余切值.
35.数学老师布置了这样一个问題:
如果α,β都为锐角.且tanα=,tanβ=.求α+β的度数.
甲、乙两位同学想利用正方形网格构图来解决问题.他们分别设计了图1和图2.
(1)请你分别利用图1,图2求出α+β的度数,并说明理由;
(2)请参考以上思考问题的方法,选择一种方法解决下面问题:
如果α,β都为锐角,当tanα=5,tanβ=时,在图3的正方形网格中,利用已作出的锐角α,画出∠MON,使得∠MON=α﹣β.求出α﹣β的度数,并说明理由.
36.如图,点P、M、Q在半径为1的⊙O上,根据已学知识和图中数据(0.97、0.26为近似数),解答下列问题:
(1)sin60°
= ;
cos75°
(2)若MH⊥x轴,垂足为H,MH交OP于点N,求MN的长.(结果精确到0.01,参考数据:
≈1.414,≈1.732)
37.阅读下面的材料:
某数学学习小组遇到这样一个问题:
如果α,β都为锐角,且tanα=,tanβ=,求α+β的度数.
该数学课外小组最后是这样解决问题的:
如图1,把α,β放在正方形网格中,使得∠ABD=α,∠CBE=β,且BA,BC在直线BD的两侧,连接AC.
(1)观察图象可知:
α+β= °
;
(2)请参考该数学小组的方法解决问题:
如果α,β都为锐角,当tanα=3,tanβ=时,在图2的正方形网格中,画出∠MON=α﹣β,并求∠MON的度数.
38.阅读下列材料:
在学习完锐角三角函数后,老师提出一个这样的问题:
如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°
,AB=1,∠A=α,求sin2α(用含sinα,cosα的式子表示).
聪明的小雯同学是这样考虑的:
如图2,取AB的中点O,连接OC,过点C作CD⊥AB于点D,则∠COB=2α,然后利用锐角三角函数在Rt△ABC中表示出AC,BC,在Rt△ACD中表示出CD,则可以求出
sin2α====2sinα•cosα.
阅读以上内容,回答下列问题:
在Rt△ABC中,∠C=90°
,AB=1.
(1)如图3,若BC=,则sinα= ,sin2α= ;
(2)请你参考阅读材料中的推导思路,求出tan2α的表达式(用含sinα,cosα的式子表示).
39.图1是小明在健身器材上进行仰卧起坐锻炼时情景.图2是小明锻炼时上半身由EM位置运动到与地面垂直的EN位置时的示意图.已知BC=0.64米,AD=0.24米,α=18°
.(sin18°
≈0.31,cos18°
≈0.95,tan18°
≈0.32)
(1)求AB的长(精确到0.01米);
(2)若测得EN=0.8米,试计算小明头顶由M点运动到N点的路径弧MN的长度(结果保留π)
40.某厂家新开发的一种电动车如图,它的大灯A射出的光线AB,AC与地面MN所夹的锐角分别为8°
和10°
,大灯A与地面离地面的距离为1m求该车大灯照亮地面的宽度BC.(不考虑其它因素)(参数数据:
sin8°
=,tan8°
=,sin10°
=,tan10°
=)
锐角三角函数常考题型与解析
参考答案与试题解析
1.(2017•奉贤区一模)如果把一个锐角△ABC的三边的长都扩大为原来的3倍,那么锐角A的余切值( )
【分析】根据△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍所得的三角形与原三角形相似,得到锐角A的大小没改变和余切的概念解答.
【解答】解:
因为△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍所得的三角形与原三角形相似,
所以锐角A的大小没改变,所以锐角A的余切值也不变.
故选:
C.
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义,掌握在直角三角形中,一个锐角的余切等于它的邻边与对边的比值是解题的关键.
2.(2017•金山区一模)在△ABC中,∠C=90°
【分析】根据sinA=代入数据直接得出答案.
∵∠C=90°
,AB=5,BC=4,
∴sinA==,
故选D.
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义及运用:
在直角三角形中,锐角的正弦为对边比斜边,余弦为邻边比斜边,正切为对边比邻边.
3.(2017•浦东新区一模)已知在Rt△ABC中,∠C=90°
【分析】根据锐角三角函数的定义得出sinA=,代入求出即可.
∵在Rt△ABC中,∠C=90°
,∠A=α,BC=2,
∴sinA=,
∴AB==,
故选A.
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义,能熟记锐角三角函数的定义是解此题的关键,注意:
在Rt△ACB中,∠ACB=90°
,则sinA=,cosA=,tanA=.
4.(2017•静安区一模)如果锐角α的正弦值为,那么下列结论中正确的是( )
【分析】正弦值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小),可得答案.
由<<,得
30°
,
【点评】本题考查了锐角三角形的增减性,当角度在0°
~90°
间变化时,①正弦值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小);
②余弦值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大);
③正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小).也考查了互余两角的三角函数之间的关系.
5.(2017•莒县模拟)如图,在4×
4的正方形方格中,△
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