初中数学动点问题及练习题附参考(1)答案Word文件下载.doc
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函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.那么,我们怎样建立这种函数解析式呢?
下面结合中考试题举例分析.
一、应用勾股定理建立函数解析式。
二、应用比例式建立函数解析式。
三、应用求图形面积的方法建立函数关系式。
专题二:
动态几何型压轴题
动态几何特点----问题背景是特殊图形,考查问题也是特殊图形,所以要把握好一般与特殊的关系;
分析过程中,特别要关注图形的特性(特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。
)动点问题一直是中考热点,近几年考查探究运动中的特殊性:
等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。
下面就此问题的常见题型作简单介绍,解题方法、关键给以点拨。
一、以动态几何为主线的压轴题。
(一)点动问题。
(二)线动问题。
(三)面动问题。
二、解决动态几何问题的常见方法有:
1、特殊探路,一般推证。
2、动手实践,操作确认。
3、建立联系,计算说明。
三、专题二总结,本大类习题的共性:
1.代数、几何的高度综合(数形结合);
着力于数学本质及核心内容的考查;
四大数学思想:
数学结合、分类讨论、方程、函数.
2.以形为载体,研究数量关系;
通过设、表、列获得函数关系式;
研究特殊情况下的函数值。
专题三:
双动点问题
点动、线动、形动构成的问题称之为动态几何问题.它主要以几何图形为载体,运动变化为主线,集多个知识点为一体,集多种解题思想于一题.这类题综合性强,能力要求高,它能全面的考查学生的实践操作能力,空间想象能力以及分析问题和解决问题的能力.其中以灵活多变而著称的双动点问题更成为今年中考试题的热点,现采撷几例加以分类浅析,供读者欣赏.
1以双动点为载体,探求函数图象问题。
2以双动点为载体,探求结论开放性问题。
3以双动点为载体,探求存在性问题。
4以双动点为载体,探求函数最值问题。
双动点问题的动态问题是近几年来中考数学的热点题型.这类试题信息量大,对同学们获取信息和处理信息的能力要求较高;
解题时需要用运动和变化的眼光去观察和研究问题,挖掘运动、变化的全过程,并特别关注运动与变化中的不变量、不变关系或特殊关系,动中取静,静中求动。
专题四:
函数中因动点产生的相似三角形问题
专题五:
以圆为载体的动点问题
动点问题是初中数学的一个难点,中考经常考察,有一类动点问题,题中未说到圆,却与圆有关,只要巧妙地构造圆,以圆为载体,利用圆的有关性质,问题便会迎刃而解;
此类问题方法巧妙,耐人寻味。
例1.如图,已知在矩形ABCD中,AD=8,CD=4,点E从点D出发,沿线段DA以每秒1个单位长的速度向点A方向移动,同时点F从点C出发,沿射线CD方向以每秒2个单位长的速度移动,当B,E,F三点共线时,两点同时停止运动.设点E移动的时间为t(秒).
(1)求当t为何值时,两点同时停止运动;
(2)设四边形BCFE的面积为S,求S与t之间的函数关系式,并写出t的取值范围;
(3)求当t为何值时,以E,F,C三点为顶点的三角形是等腰三角形;
A
B
C
D
E
F
O
(4)求当t为何值时,∠BEC=∠BFC.
例2.正方形边长为4,、分别是、上的两个动点, 当点在上运动时,保持和垂直,
(1)证明:
;
(2)设,梯形的面积为,求与之间的函数关系式;
当点运动到什么位置时,四边形面积最大,并求出最大面积;
M
N
(3)当点运动到什么位置时,求此时的值.
例3.如图,在梯形中,动点从点出发沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点运动;
动点同时从点出发沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动.设运动的时间为秒.
(09年济南中考)A
(1)求的长。
(2)当时,求的值.
(3)试探究:
为何值时,为等腰三角形.
y
Q
P
x
例4.如图,在Rt△AOB中,∠AOB=90°
,OA=3cm,OB=4cm,以点O为坐标原点建立坐标系,设P、Q分别为AB、OB边上的动点它们同时分别从点A、O向B点匀速运动,速度均为1cm/秒,设P、Q移动时间为t(0≤t≤4)
(1)求AB的长,过点P做PM⊥OA于M,求出P点的坐标(用t表示)
(2)求△OPQ面积S(cm2),与运动时间t(秒)之间的函数关系式,当t为何值时,S有最大值?
最大是多少?
(3)当t为何值时,△OPQ为直角三角形?
(4)若点P运动速度不变,改变Q的运动速度,使△OPQ为正三角形,求Q点运动的速度和此时t的值.
动点练习题答案
例1.解:
(1)当B,E,F三点共线时,两点同时停止运动,如图2所示.………(1分)
图2
由题意可知:
ED=t,BC=8,FD=2t-4,FC=2t.
∵ED∥BC,∴△FED∽△FBC.∴.
∴.解得t=4.
∴当t=4时,两点同时停止运动;
……(3分)
(2)∵ED=t,CF=2t,∴S=S△BCE+S△BCF=×
8×
4+×
2t×
t=16+t2.
即S=16+t2.(0≤t≤4);
………………………………………………………(6分)
(3)①若EF=EC时,则点F只能在CD的延长线上,
∵EF2=,
EC2=,∴=.∴t=4或t=0(舍去);
②若EC=FC时,∵EC2=,FC2=4t2,∴=4t2.∴;
③若EF=FC时,∵EF2=,FC2=4t2,
∴=4t2.∴t1=(舍去),t2=.
∴当t的值为4,,时,以E,F,C三点为顶点的三角形是等腰三角形;
………………………………………………………………………………(9分)
(4)在Rt△BCF和Rt△CED中,∵∠BCD=∠CDE=90°
,,
∴Rt△BCF∽Rt△CED.∴∠BFC=∠CED.………………………………………(10分)
∵AD∥BC,∴∠BCE=∠CED.若∠BEC=∠BFC,则∠BEC=∠BCE.即BE=BC.
∵BE2=,∴=64.
∴t1=(舍去),t2=.
∴当t=时,∠BEC=∠BFC.……………………………………………(12分)
例2.解:
(1)在正方形中,
CD
,
在中,,
(2),
,
当时,取最大值,最大值为10.
(3),
要使,必须有,
由
(1)知,
当点运动到的中点时,,此时.
例3.解:
(1)如图①,过、分别作于,于,则四边形是矩形
∴
在中,
在中,由勾股定理得,
(图①)
K
H
(图②)
G
(2)如图②,过作交于点,则四边形是平行四边形
∵
由题意知,当、运动到秒时,
又
即
解得,
(3)分三种情况讨论:
①当时,如图③,即
(图③)
(图④)
②当时,如图④,过作于
③当时,如图⑤,过作于点.
(图⑤)
综上所述,当、或时,为等腰三角形
例4.
(1)由题意知:
BD=5,BQ=t,QC=4-t,DP=t,BP=5-t
∵PQ⊥BC∴△BPQ∽△BDC∴即∴
当时,PQ⊥BC……………………………………………………………………3分
(2)过点P作PM⊥BC,垂足为M
∴△BPM∽△BDC∴∴……………………4分
∴=…………………………………………5分
∴当时,S有最大值.……………………………………………………6分
(3)①当BP=BQ时,,∴……………………………………7分
②当BQ=PQ时,作QE⊥BD,垂足为E,此时,BE=
∴△BQE∽△BDC∴即∴……………………9分
③当BP=PQ时,作PF⊥BC,垂足为F,此时,BF=
∴△BPF∽△BDC∴即∴……………………11分
∴,,,均使△PBQ为等腰三角形.…………………………12分
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