初三数学-二次函数-知识点总结文档格式.doc
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开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
向上
轴
时,随的增大而增大;
时,随的增大而减小;
时,有最小值.
向下
时,有最大值.
2.的性质:
上加下减。
(c>0,将向上移动,c<0将的图像向下移动=
3.的性质:
左加右减。
直线X=h
4.的性质:
三、二次函数图象的平移
1.平移步骤:
方法一:
⑴将抛物线解析式转化成顶点式,确定其顶点坐标;
⑵保持抛物线的形状不变,将其顶点平移到处,具体平移方法如下:
2.平移规律
在原有函数的基础上“值正右移,负左移;
值正上移,负下移”.
概括成八个字“左加右减,上加下减”.
方法二:
⑴沿轴平移:
向上(下)平移个单位,变成
(或)
⑵沿轴平移:
向左(右)平移个单位,变成(或)
四、二次函数与的比较
从解析式上看,与是两种不同的表达形式,后者通过配方可以得到前者,即,其中.
五、二次函数图象的画法
五点绘图法:
利用配方法将二次函数化为顶点式,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为:
顶点、与轴的交点、以及关于对称轴对称的点、与轴的交点,(若与轴没有交点,则取两组关于对称轴对称的点).
画草图时应抓住以下几点:
开口方向,对称轴,顶点,与轴的交点,与轴的交点.
六、二次函数的性质
1.当时,抛物线开口向上,对称轴为,顶点坐标为.
当时,随的增大而减小;
当时,随的增大而增大;
当时,有最小值.
2.当时,抛物线开口向下,对称轴为,顶点坐标为.当时,随的增大而增大;
当时,有最大值.
七、二次函数解析式的表示方法
1.一般式:
(,,为常数,);
2.顶点式(又称为对称式):
3.两根式(又称为两点式):
(,,是抛物线与轴两交点的横坐标).
注意:
任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非所有的二次函数都可以写成交点式,只有抛物线与轴有交点,即时,抛物线的解析式才可以用交点式表示.二次函数解析式的这三种形式可以互化.
八、二次函数的图象与各项系数之间的关系
1.二次项系数
二次函数中,作为二次项系数,显然.
⑴当时,抛物线开口向上,的值越大,开口越小,反之的值越小,开口越大;
⑵当时,抛物线开口向下,的值越小,开口越小,反之的值越大,开口越大.
总结起来,决定了抛物线开口的大小和方向,的正负决定开口方向,的大小决定开口的大小.
2.一次项系数
在二次项系数确定的前提下,决定了抛物线的对称轴.
⑴在的前提下,
当时,,即抛物线的对称轴在轴左侧;
当时,,即抛物线的对称轴就是轴;
当时,,即抛物线对称轴在轴的右侧.
⑵在的前提下,结论刚好与上述相反,即
当时,,即抛物线的对称轴在轴右侧;
当时,,即抛物线对称轴在轴的左侧.
总结起来,在确定的前提下,决定了抛物线对称轴的位置.
的符号的判定:
对称轴在轴左边则,在轴的右侧则,概括的说就是“左同右异”
总结:
3.常数项
⑴当时,抛物线与轴的交点在轴上方,即抛物线与轴交点的纵坐标为正;
⑵当时,抛物线与轴的交点为坐标原点,即抛物线与轴交点的纵坐标为;
⑶当时,抛物线与轴的交点在轴下方,即抛物线与轴交点的纵坐标为负.
总结起来,决定了抛物线与轴交点的位置.
总之,只要都确定,那么这条抛物线就是唯一确定的.
二次函数解析式的确定:
根据已知条件确定二次函数解析式,通常利用待定系数法.用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点,选择适当的形式,才能使解题简便.一般来说,有如下几种情况:
1.已知抛物线上三点的坐标,一般选用一般式(三点式);
2.已知抛物线顶点或对称轴或最大(小)值,一般选用顶点式(对称式);
3.已知抛物线与轴的两个交点的横坐标,一般选用两根式(两点);
4.已知抛物线上纵坐标相同的两点,常选用顶点式.
九、二次函数与一元二次方程:
1.二次函数与一元二次方程的关系(二次函数与轴交点情况):
一元二次方程是二次函数当函数值时的特殊情况.
图象与轴的交点个数:
①当时,图象与轴交于两点,其中的是一元二次方程的两根.这两点间的距离(即.二次函数与轴两个交点的距离)
②当时,图象与轴只有一个交点;
③当时,图象与轴没有交点.
当时,图象落在轴的上方,无论为任何实数,都有;
当时,图象落在轴的下方,无论为任何实数,都有.
2.抛物线的图象与轴一定相交,交点坐标为,;
十、函数的应用
二次函数应用
注:
在实际应用中凡是需要求最大,最小(或极值)问题一般都要考虑用二次函数的最大值或最小值
二次函数考查重点与常见题型
1.考查二次函数的定义、性质,有关试题常出现在选择题中,如:
已知以为自变量的二次函数的图像经过原点,则的值是
2.综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像,习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像,试题类型为选择题,如:
如图,如果函数的图像在第一、二、三象限内,那么函数的图像大致是()
yyyy
11
0xo-1x0x0-1x
ABCD
3.考查用待定系数法求二次函数的解析式,有关习题出现的频率很高,习题类型有中档解答题和选拔性的综合题,如:
已知一条抛物线经过(0,3),(4,6)两点,对称轴为,求这条抛物线的解析式。
4.考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值,有关试题为解答题,如:
已知抛物线(a≠0)与x轴的两个交点的横坐标是-1、3,与y轴交点的纵坐标是-
(1)确定抛物线的解析式;
(2)用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.
5.考查代数与几何的综合能力,常见的作为专项压轴题。
【例题经典】
由抛物线的位置确定系数的符号
例1
(1)二次函数的图像如图1,则点在()
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
(2)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图2所示,则下列结论:
①a、b同号;
②当x=1和x=3时,函数值相等;
③4a+b=0;
④当y=-2时,x的值只能取0.其中正确的个数是()
A.1个B.2个C.3个D.4个
(1)
(2)
【点评】弄清抛物线的位置与系数a,b,c之间的关系,是解决问题的关键.
例2.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点(-2,O)、(x1,0),且1<
x1<
2,与y轴的正半轴的交点在点(O,2)的下方.下列结论:
①a<
b<
0;
②2a+c>
O;
③4a+c<
④2a-b+1>
O,其中正确结论的个数为()
A1个B.2个C.3个D.4个
答案:
D
会用待定系数法求二次函数解析式
例3.已知:
关于x的一元二次方程ax2+bx+c=3的一个根为x=-2,且二次函数y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=2,则抛物线的顶点坐标为()
A(2,-3)B.(2,1)C(2,3)D.(3,2)
C
例4、如图(单位:
m),等腰三角形ABC以2米/秒的速度沿直线L向正方形移动,直到AB与CD重合.设x秒时,三角形与正方形重叠部分的面积为ym2.
(1)写出y与x的关系式;
(2)当x=2,3.5时,y分别是多少?
(3)当重叠部分的面积是正方形面积的一半时,
三角形移动了多长时间?
求抛物线顶点坐标、
对称轴.
例5、已知抛物线y=x2+x-.
(1)用配方法求它的顶点坐标和对称轴.
(2)若该抛物线与x轴的两个交点为A、B,求线段AB的长.
【点评】本题
(1)是对二次函数的“基本方法”的考查,第
(2)问主要考查二次函数与一元二次方程的关系.
例6、“已知函数的图象经过点A(c,-2),
求证:
这个二次函数图象的对称轴是x=3。
”题目中的矩形框部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字。
(1)根据已知和结论中现有的信息,你能否求出题中的二次函数解析式?
若能,请写出求解过程,并画出二次函数图象;
若不能,请说明理由。
(2)请你根据已有的信息,在原题中的矩形框中,填加一个适当的条件,把原题补充完整。
点评:
对于第
(1)小题,要根据已知和结论中现有信息求出题中的二次函数解析式,就要把原来的结论“函数图象的对称轴是x=3”当作已知来用,再结合条件“图象经过点A(c,-2)”,就可以列出两个方程了,而解析式中只有两个未知数,所以能够求出题中的二次函数解析式。
对于第
(2)小题,只要给出的条件能够使求出的二次函数解析式是第
(1)小题中的解析式就可以了。
而从不同的角度考虑可以添加出不同的条件,可以考虑再给图象上的一个任意点的坐标,可以给出顶点的坐标或与坐标轴的一个交点的坐标等。
[解答]
(1)根据的图象经过点A(c,-2),图象的对称轴是x=3,得
解得
所以所求二次函数解析式为图象如图所示。
(2)在解析式中令y=0,得,解得
所以可以填“抛物线与x轴的一个交点的坐标是(3+”或“抛物线与x轴的一个交点的坐标是
令x=3代入解析式,得
所以抛物线的顶点坐标为
所以也可以填抛物线的顶点
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