八年级经典分类旋转证明题Word下载.doc
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八年级经典分类旋转证明题Word下载.doc
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例2:
在等边△ABC中,O为△ABC内一点,连接AO、BO、CO且AO=2,BO=1,CO=√3
求∠AOB,∠BOC的度数分别是多少?
中考连接
1(09西城).已知:
PA=√2,PB=4,以AB为一边作正方形ABCD,使P、D两点落在直线AB的两侧.
(1)如图,当∠APB=45°
时,求AB及PD的长;
(2)当∠APB变化,且其它条件不变时,求PD的最大值,及相应∠APB的大小.
类型二.旋转型相似
例3.点B、C、E在同一直线上,点A、D在直线CE的同侧,AB=AC,EC=ED,∠BAC=∠CED,直线AE、BD交于点F。
(1)如图①,若∠BAC=60°
,则∠AFB=_________;
如图②,若∠BAC=90°
(2)如图③,若∠BAC=α,则∠AFB=_________(用含α的式子表示);
(3)将图③中的△ABC绕点C旋转(点F不与点A、B重合),得图④或图⑤。
在图④中,∠AFB与∠α的数量关系是________________;
在图⑤中,∠AFB与∠α的数量关系是________________。
请你任选其中一个结论证明。
朝阳)我们给出如下定义:
若一个四边形中存在一组对边的平方和等于另外一组对边的平方和,则称这个四边形为等平方和四边形。
(1)写出一个你所学过的特殊四边形中是等平方和四边形的图形的名称:
(2)如图①,在梯形ABCD中,AD∥BC,AC⊥BD,垂足为O。
求证:
AD2+BC2=AB2+DC2。
即四边形ABCD是等平方和四边形。
(3)如果将图①中的△AOD绕点O按逆时针方向旋转a度(0<
a<
90°
)后得到图,那么四边形ABCD能否成为等平方和四边形?
若能,请证明;
若不能,请说明理由。
类型三.正方形中的旋转
例4:
如图所示,正方形ABCD的对角线相交于点O,以点O为一个顶点作正方形A’B’C’O,说明正方形A’B’C’O绕点O无论怎样旋转,两个正方形重叠部分的面积不变。
(延庆).如图24-1,正方形ABCD和正方形QMNP,M是正方形ABCD的对称中心,MN交AB于F,QM交AD于E.
(1)猜想:
ME与MF的数量关系
(2)如图24-2,若将原题中的“正方形”改为“菱形”,且∠M=∠B,其它条件不变,探索线段ME与线段MF的数量关系,并加以证明
(3)如图24-3,若将原题中的“正方形”改为“矩形”,且AB:
BC=1:
2,其它条件不变,探索线段ME与线段MF的数量关系,并说明理由.
(4)如图24-4,若将原题中的“正方形”改为平行四边形,且∠M=∠B,AB:
BC=m,其它条件不变,求出ME:
MF的值。
(直接写出答案)
类型四:
倍长中线
例5:
如图1,已知点D在AC上,△ADE和△ABC都是等腰直角三角形,点M为EC的中点.
(1)求证:
△BMD为等腰直角三角形.
(2)将△ADE绕点A逆时针旋转45°
,如图2,
(1)中的“△BMD为等腰直角三角形”是否仍然成立?
请说明理由.
(3)将△ADE绕点A逆时针旋转一定的角度,如图3,
(1)中的“△BMD为等腰直角三角形”成立吗?
(08北京)请阅读下列材料:
问题:
如图1,在菱形ABCD和菱形BEFG中,点A,B,E在同一条直线上,P是线段DF的中点,连结PC,PG.若∠ABC=∠BEF=60°
,探究PC与PG的位置关系及PG:
PC的值.
小聪同学的思路是:
延长GP交CD于点H,构造全等三角形,经过推理使问题得到解决.
请你参考小聪同学的思路,探究并解决下列问题:
(1)写出上面问题中线段PC与PG的位置关系及PG:
PC的值;
(2)将图1中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转,使菱形BEFG的对角线BF恰好与菱形ABCD的边AB在同一条直线上,原问题中的其他条件不变(如图2).你在
(1)中得到的两个结论是否发生变化?
写出你的猜想并加以证明.
(3)若图1中,∠ABC=∠E=2α将菱形BEFG绕点B顺时针旋转任意角度,原问题中的其他条件不变,请你直接写出PG:
PC的值(用含的式子表示).
类型五:
利用费马点找最短距离
定理:
在一个多边形中,到每个顶点距离之和最小的点叫做这个多边形的费马点。
在平面三角形中:
(1).三内角皆小于120°
的三角形,分别以AB,BC,CA,为边,向三角形外侧做正三角形ABC’,ACB’,BCA’,然后连接AA’,BB’,CC’,则三线交于一点P,则点P就是所求的费马点.
(2).若三角形有一内角大于或等于120度,则此钝角的顶点就是所求.
例:
6.如图11-10,O是锐角三角形ABC内一点,∠AOB=∠BOC=∠COA=120°
,P是△ABC内不同于O的另一点;
△A′BO′、△A′BP′分别由△AOB、△APB旋转而得,旋转角都为60°
,则下列结论中正确的有().
①△O′BO为等边三角形,且A′、O′、O、C在一条直线上.
②A′O′+O′O=AO+BO.
③A′P′+P′P=PA+PB.
④PA+PB+PC>
AO+BO+CO.
A.1个B.2个C.3个D.4个
石景山)
(1)如图1,四边形ABCD中,AB=CB,∠ABC=60°
,∠ADC=120°
,请你猜想线段DA、DC之和与线段BD的数量关系,并证明你的结论;
(2)如图2,四边形ABCD中,AB=CB,∠ABC=60°
若点P为四边形ABCD内一点,且∠APD=120°
,请你猜想线段PA、PC、PD之和与线段BD的数量关系,并证明你的结论.
H
A
B
C
D
E
F
G
图形的旋转与几何题的证明
例1.如图
(1)正方形ABCD绕着点A,按顺时针方向旋转得到
正方形AEFG,边FG与BC交于点H,试问线段HG与线段HB相等吗?
请先观察猜想,然后证明你的猜想。
A
P
例2.如图(3),在等腰直角三角形ABC中,P是斜边BC的中点,
以P为顶点的直角的两边分别与边AB、AC交于点E、F,连接EF
,当∠EPF绕顶点P旋转时(点E不与A、B重合),
△PEF也始终是等腰直角三角形吗?
请你说明理由。
3.图形的旋转成了我们解决问题的方法。
例1.如图(5),P是正三角形△ABC内一点,且PA=6,PB=8,PC=10,求∠APB的度数?
变式训练:
如图(7),P是在等腰直角三角形ABC内一点,且∠C=90,PB=3
PA=,PC=1,求∠APB的度数?
4
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- 年级 经典 分类 旋转 证明