平面向量的概念及线性运算pptPPT文件格式下载.ppt
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=0时,a=0.,(6)向量的加法减法和向量的数乘的综合运算通常叫做向量的线性运算.向量加法的交换律表达式为a+b=b+a;
向量加法的结合律表达式为(a+b)+c=a+(b+c).若,为实数,则(+)a=a+a(a)=a(a+b)=a+b.,3.向量共线的条件平行向量基本定理:
如a=b,则ab,如果ab(b0),则存在惟一实数使a=b.,考点陪练,答案:
B,答案:
B,A.ABC三点必在同一直线上B.ABC必为等腰三角形且B为顶点C.ABC必为直角三角形且B为直角D.ABC必为等腰直角三角形,答案:
C,答案:
D,答案:
C,类型一向量的有关概念解题准备:
准确理解向量的基本概念是解决这类题目的关键.共线向量即为平行向量,非零向量平行具有传递性,两个向量方向相同或相反就是共线向量,与向量长度无关,两个向量方向相同且长度相等,才是相等向量.共线向量或相等向量均与向量起点无关.,【典例1】判断下列命题是否正确
(1)若|a|=|b|,则a=b;
(2)若ABCD是不共线的四点,则是四边形ABCD为平行四边形的充要条件;
(3)若a=b,b=c,则a=c;
(4)a=b的充要条件是,(5)|a|=|b|是a=b的必要不充分条件.(6)平行向量就是共线向量;
(7)相反向量一定是平行向量;
(8)平面内4个不同点ABCD共线的充要条件是存在非零实数k,使得(9)已知a是任一个非零向量,则是一个单位向量.,解
(1)不正确,两个向量的长度相等,但它们的方向不一定相同,因此,由|a|=|b|不能推出a=b.
(2)正确,且又ABCD是不共线的四点,四边形ABCD是平行四边形.反之,若四边形ABCD是平行四边形,则且与方向相同,因此,(3)正确,a=b,ab的长度相等且方向相同.又b=c,bc的长度相等且方向相同.ac的长度相等且方向相同,故a=c.(4)不正确,当ab且方向相反时,即使|a|=|b|也不能得到a=b.故不是a=b的充要条件,而是必要不充分条件.(5)正确,|a|=|b|a=b,但a=b|a|=|b|.|a|=|b|是a=b的必要不充分条件.,(6)正确.不同于平面几何中的平行与共线的概念,向量的平行与共线是同一概念.(7)正确.由相反向量的定义可知(7)正确.(8)不正确.点的共线与向量的共线是不同的概念.(9)正确.由单位向量的定义可知模长为1的向量即为单位向量,而答案
(1)(4)(8)不正确,
(2)(3)(5)(6)(7)(9)正确,反思感悟熟练掌握有关基本概念是解决此类小题的关键.,类型二向量的线性运算及应用解题准备:
1.向量的加法:
(1)定义:
求两个向量和的运算,叫做向量的加法;
(2)法则:
三角形法则,平行四边形法则;
(3)运算律:
a+b=b+a;
(a+b)+c=a+(b+c).2.向量的减法:
求两个向量差的运算,叫做向量的减法;
三角形法则.(3)常用于向量式的化简.,3.实数与向量的积:
实数与向量a的积是一个向量,记作a,规定:
|a|=|a|.当0时,a的方向与a的方向相同;
当0时,a的方向与a的方向相反;
当=0时,a=0.由此可见,总有a与a平行;
(2)运算律:
(ua)=(u)a,(+u)a=a+ua,(a+b)=a+b.,反思感悟在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中,选用从同一顶点发现的基本向量或首尾相连的向量,运用向量加、减法运算及数乘运算来求解,即充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系,运用三角形、平行四边形法则,充分利用三角形中的中位线,相似三角形对应边成比例的平面几何的性质,把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解.,类型三数乘向量与共线向量定理的应用解题准备:
(1)向量共线是指存在实数使两向量互相表示.
(2)向量共线的充要条件中,通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量,要注意待定系数法的运用和方程思想.(3)证明三点共线问题,可用向量共线来解决,但应注意向量共线与三点共线的区别与联系,当两向量共线且有公共点时,才能得出三点共线.,
(2)ka+b与a+kb共线,存在实数,使ka+b=(a+kb),即ka+b=a+kb.(k-)a=(k-1)b.a、b是不共线的两个非零向量.k-=k-1=0,k2-1=0.k=1.,反思感悟
(1)向量共线的充要条件中要注意当两向量共线时,通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量,要注意待定系数法的运用和方程思想.
(2)证明三点共线问题,可用向量共线来解决,但应注意向量共线与三点共线的区别与联系,当两向量共线且有公共点时,才能得到三点共线.,错源一忽视零向量性质致误【典例1】下列叙述错误的是_.若ab,bc,则ac;
若非零向量a与b方向相同或相反,则a+b与a、b之一的方向相同;
|a|+|b|=|a+b|a与b方向相同;
向量b与向量a共线的充要条件是有且只有一个实数,使得b=a;
若a=b,则a=b.,剖析忽视零向量的特殊性是本题出错的主要原因,本题前四个结论都与此有关;
另外两个相反向量的和是一个零向量,不是实数零;
最后一个结论可能忽视了=0的情况.,正解这六个命题都是错误的,因为对于,当b=0,a不一定与c平行;
对于,当a+b=0时,其方向任意,它与a、b的方向都不相同;
对于,当a、b之一为零向量时结论不成立;
对于,当a=0,且b=0,有无数个值;
当a=0但b0,不存在.对于,由于两个向量之和得到的仍是一个向量,所以对于,当=0时,不管a与b的大小与方向如何,都有a=b,此时不一定有a=b.,答案评析零向量的特殊性零向量是向量中最特殊的向量,规定零向量的长度为0,其方向是任意的,零向量与任意向量都共线.它在向量中的位置正如实数中0的位置一样,但有了它容易引起一些混淆,稍微考虑不到就会出错,考生应给予足够的重视.,错源二错用实数运算律或运算法则,错解|a+b+c|=|a|+|b|+|c|=剖析上述解法受实数运算律和运算法则的影响致错.,答案4,技法一数形结合思想【典例1】已知任意四边形ABCD,O为其内部一点,且满足试确定该点的位置.解题切入点条件中涉及四个向量的和的问题,为了利用向量的加法法则,我们可把四个向量之和的问题,转化为向量两两相加的情形来解决.,解点O是四边形ABCD对边中点连线的交点,证明如下:
如图,以OA、OD为邻边作AODE,设OE与AD交于I;
以OB、OC为邻边作BOCF,设OF与BC交于J,于是I、J分别是AD与BC的中点.,技法二分类讨论思想【典例2】已知向量a、b,求作向量c,使a+b+c=0,表示a、b、c的有向线段能构成三角形吗?
解题切入点本题需对两已知向量a和b的情形加以分类讨论.解当a和b中至少有一个是零向量时,作图较简单,而且显然它们不构成三角形.以下假定a和b都为非零向量:
若ab,则分同向和异向作图(略),它们都不能构成三角形.,
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