余弦定理的八种证明方法Word格式文档下载.docx

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b²

=a²

-2·

a·

cosB

c²

+b²

cosC

二证明方法

方法一：

平面几何法

∵如图，有a+b=c∴c·

c=（a+b）·

（a+b）

∴c²

=a·

a+2a·

b+b·

b∴c²

=a²

+b²

+2|a||b|cos（π-θ）

又∵Cos（π-θ）=-Cosθ　∴c²

-2|a||b|cosθ

再拆开，得c^2=a²

-2*a*b*cosC

方法二：

勾股法

在任意△ABC中　　

做AD⊥BC.

∠C所对的边为c，∠B所对的边为b，∠A所对的边为a

则有BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c

根据勾股定理可得：

AC²

=AD²

+DC²

=（sinB*c）²

+（a-cosB*c）²

+a²

-2ac*cosB+（cosB）²

*c²

=（sinB²

+cosB²

）*c²

-2ac*cosB+a²

=c²

-2ac*cosB

方法三：

解析法

在三角形ABC建立直角坐标系，使A点为原点，B点落在x轴正半轴上，

设三角形三边abc

则有三点坐标为A（0，0）B（c，0）C（bcosA，bsinA）

∵BC=a

则由距离公式得a=（c-bcosA）2-（bsinA）²

化简得a=c²

-2bccosA

∴a²

-2bccosA

方法四：

面积法

S△ACQ=（1/2）bc（cos∠BAC）,

S△PBC=（1/2）ac（cos∠CBA）,

bc（cos∠BAC）+ac（cos∠CBA）=2（S△ACQ+S△PBC）=c²

同理，ac（cos∠CBA）+ab（cos∠ACB）=a²

ab（cos∠ACB）+bc（cos∠BAC）=b²

.

联立三个方程，

bc（cos∠BAC）+ac（cos∠CBA）=c²

（1）

ac（cos∠CBA）+ab（cos∠ACB）=a²

（2）

ab（cos∠ACB）+bc（cos∠BAC）=b²

（3）

易得余弦定理

方法五：

正弦法

∵＝＝

∴＝bsin²

B＝csin²

C＝absinAsinB

-c²

sin²

A+sin²

B-sin²

=absinAsinB（sin²

C）

（1）

又∵sin²

A=1-cos2A2

B=1-cos2B2 

∴sin²

B=1-（cos2A+cos2B）=1-cos（A+B）cos（A-B）

ΔABC中cos（A+B）=cos（180°

-C）=-cosC

A+cos²

B=1-cosCcos（A-B）

（2）

（2）带入

（1）得

=[1+cosCcos（A-B）-sin²

C]

=[cos²

C+cosCcos（A-B）]

=cosC[cosC+cos（A-B）]

=cosC[-cos（A+B）+cos（A-B）]

=2abcosC

-2abcosC

同理可证

+c²

-2accosB

-2bccosA

方法六：

摄影定理法

∵a=bcosC+ccosB

（1）

b=acosC+ccosA

（2）

c=bcosA+acosB（3）

∴

（1）×

a+

（2）×

b-（3）×

c得

方法七：

复数法

如下图，在复平面内作△ABC，则 

=a（cosB+isinB），

==b[cos（－A）+isin（－A）]，这里C'

是平行四边形ACBC'

的顶点，

根据复数加法的几何意义可知，　　＝＋＝＋。

所以c=a（cosB+isinB）+b[cos（－A）+isin（－A）]

=（acosB+bcosA）+（asinB－bsinA）i。

　　（*）

　根据复数相等的定义，

　有asinB－bsinA=0，

　即。

　对（*）式两边取模，得

　c²

=（acosB+bcosA）²

＋（asinB－bsinA）²

　　=a²

+2abcos（B+A）

－2abcosC

其他各式同理可证。

方法八：

物理法

设三角形ABC是边长分别为a、b、c的通电导线框，其电流长度为I。

现将它置于磁感应强度为B的匀强磁场中且线框平面与磁场方向垂直，

那么三角形ABC的三边所受的安培力如图1所示，其大小分别为

Fa=BIa

Fb=BIb

（1）

Fc=BIc

很显然，这三个力是相互平衡的共点力，它们的作用线相交与三角形ABC的外心O，现以O点为原点，分别建立如图2甲、丙所示的直角坐标系，对Fa、Fb、Fc进行正交分解，根据甲图，有

FasinB-FbsinA=0

FacosB-FbcosA=Fc

（2）

同理，根据乙图、丙图分别有

FbsinC-FcsinB=0

FbcosC+FccosB=Fa（3）

和

FasinC-FcsinA=0

FacosC+FccosA=Fb（4）

将

（1）式分别代入

（2）、（3）、（4）、式并整理，得

BIa·

cosB+BIb·

cosA=BIc

BIb·

cosC+BIc·

cosB=BIa

BIc·

cosA=BIb（5）

分别化简（5式，得余弦定理

参考文献：

[1]百度文库《用物理方法证明正弦定理和余弦定理》

[2]普通高中课程标准实验教科书数学必修5（北师大版）第二章（1.2余弦定理）