泰勒公式Word文档格式.doc
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由此可见,多项式的各项系数由其在点的各阶导数值所唯一确定.
对于一般函数,设它在点存在直到阶的导数.由这些导数构造一个次多项式
(2)
称为函数在点处的泰勒(Taylor)多项式,的各项系数1,2,…,)称为泰勒系数.由上面对多项式系数的讨论,易知与其泰勒多项式在点有相同的函数值和相同的直至阶导数值,即(3)下面将要证明,即以
(2)式所示的泰勒多项式逼近时,其误差为关于的高阶无穷小量.
定理6.8若函数在点存在直至阶导数,则有
(4)
证设(
现在只要证
由关系式(3)可知,
并易知
因为存在,所以在点的某邻域U()内存在—1阶导函数.于是,当且时,允许接连使用洛必达法则,—1次,得到
定理所证的(4)式称为函数在点处的泰勒公式,称为泰勒公式的余项,形如的余项称为佩亚诺(Peano)型余项.所以(4)式又称为带有佩亚诺型余项的泰勒公式.
注1若在点附近满足,(5)
其中为
(1)式所示的阶多项式,这时并不意味着必定就是的泰勒多项式.例如其中D为狄利克雷函数.不难知道,在处除了外不再存在其他任何阶导数(为什么?
).因此无法构造出一个高于一次的泰勒多项式,但因即,所以若取
时,(5)式对任何恒成立.
注2满足(5)式要求(即带有佩亚诺型误差)的n次逼近多项式是唯一的.
综合定理6.8和上述注2,若函数满足定理6.8的条件时,满足(5)式要求的逼近多项式只可能是的泰勒多项式.
以后用得较多的是泰勒公式(4)在时的特殊形式:
它也称为(带有佩亚诺余项的)麦克劳林(Maclaurin)公式.
例1验证下列函数的麦克劳林公式:
(2)
(4);
(6).
证这里只验证其中两个公式,其余请读者自行证明.
(2)设,由于,因此
代人公式(6),便得到的麦克劳林公式.由于这里有,因此公式中的余项可以写作,也可以写作).关于公式3)中的余项可作同样说明.
设因此代人公式(6),便得的麦克劳林公式
利用上述麦克劳林公式,可间接求得其他一些函数的麦克劳林公式或泰勒公式,还可用来求某种类型的极限.
例2写出的麦克劳林公式,并求与.
解用替换公式1)中的,便得
根据定理6.8注2,知道上式即为所求的麦克劳林公式.
由泰勒公式系数的定义,在上述的麦克劳林公式中,与的系数分别为
由此得到
例3求在处的泰勒公式.
解由于因此
根据与例1的相同的理由,上式即为所求的泰勒公式.
例4求极限.
解本题可用洛必达法则求解(较繁琐),在这里可应用泰勒公式求解.考虑到极限式的分母为,我们用麦克劳林公式表示极限的分子(取,并利用例2):
因而求得
二带有拉格朗日型余项的泰勒公式
上面我们从微分近似出发,推广得到用次多项式逼近函数的泰勒公式(4)。
它的佩亚诺型余项只是定性地告诉我们:
当时,逼近误差是较高阶的无穷小量。
现在我们将泰勒公式构造一个定量形式的余项,以便于对逼近误差进行具体的计算或估计。
定理6.9(泰勒定理)若函数在上存在直至阶的连续导函数,在内存在阶导函数,则对任意给定的,至少存在一点,使得
(7)
证作辅助函数
所要证明的(7)式即为或.不妨设,则与在上连续,在内可导,且
又因,所以由柯西中值定理证得
其中.
(7)式同样称为泰勒公式,它的余项为
称为拉格朗日型余项.所以(7)式又称为带有拉格朗日型余项的泰勒公式。
时,即为拉格朗日中值公式所以,泰勒定理可以看作拉格朗日中值定理的推广.
当时,得到泰勒公式
(8)
(8)式也称为(带有拉格朗日余项的)麦克劳林公式.
例5把例1中六个麦克劳林公式改写为带有拉格朗日型余项的形式
解
(1),由,得到
(2)由
得到
(3)类似于,可得
(4)得到
。
(5),由,
得到
(6)由得到
三在近似计算上的应用
这里只讨论泰勒公式在近似计算上的应用.在§
4,§
5两节里还要借助泰勒公式这一工具去研究函数的极值与凸性.
例6
(1)计算e的值,使其误差不超过;
(2)证明数e为无理数.
解
(1)由例5公式
(1),当时有
(9)
故,当时,便有
.
从而略去而求得e的近似值为
(2)由(9)式得
(10)
倘若(为正整数),则当时,n!
e为正整数,从而(10)式左边为口
整数.因为,所以时右边为非整数,矛盾.从而e只能是无理数.
例7用泰勒多项式逼近正弦函数(例5中的
(2)式),要求误差不超过.试以和两种情形分别讨论:
的取值范围.
(i)时,,使其误差满足
.
只须(弧度),即大约在原点左右范围内以近似sinx,其误差不超过.
(ii)时,,使其误差满足:
只需,(弧度),即大约在原点左右范围内,上述三次多项式逼近的误差不超过.
如果进一步用更高次的多项式来逼近,能在更大范围内满足同一误差.
8
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