中考数学专题特训第二十三讲:圆的有关概念及性质(含详细参考答案)Word文档格式.doc
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二、垂径定理及推论:
1、垂径定理:
垂直于弦的直径,并且平分弦所对的
2、推论:
平分弦()的直径,并且平分弦所对的
1、垂径定理及其推论实质是指一条直线满足:
⑴过圆心⑵垂直于弦⑶平分弦⑷平分弦所对的优弧⑸平分弦所对的劣弧五个条件中的两个,那么可推出其中三个,注意解题过程中的灵活运用
2、圆中常作的辅助线是过圆心作弦的线
3、垂径定理常用作计算,在半径r弦a弦心d和弦h中已知两个可求另外两个】
三、圆心角、弧、弦之间的关系:
1、圆心角定义:
顶点在的角叫做圆心角
2、定理:
在中,两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量它们所对应的其余各组量也分别
注意:
该定理的前提条件是“在同圆或等圆中”】
四、圆周角定理及其推论:
1、圆周角定义:
顶点在并且两边都和圆的角叫圆周角
2、圆周角定理:
在同圆或等圆中,圆弧或等弧所对的圆周角都等于这条弧所对的圆心角的
推论1、在同圆或等圆中,如果两个圆周角那么它们所对的弧
推论2、半圆(或直弦)所对的圆周角是900的圆周角所对的弦是
1、在圆中,一条弦所对的圆心角只有一个,而它所对的圆周角有个,它们的关系是
2、作直弦所对的圆周角是圆中常作的辅助线】
五、圆内接四边形:
定义:
如果一个多边形的所有顶点都在圆上,这个多边形叫做这个圆叫做
性质:
圆内接四边形的对角
圆内接平行四边形是圆内接梯形是】
考点一:
垂径定理
例1(绍兴)如图,AD为⊙O的直径,作⊙O的内接正三角形ABC,甲、乙两人的作法分别是:
甲:
1、作OD的中垂线,交⊙O于B,C两点,
2、连接AB,AC,△ABC即为所求的三角形
乙:
1、以D为圆心,OD长为半径作圆弧,交⊙O于B,C两点.
2、连接AB,BC,CA.△ABC即为所求的三角形.
对于甲、乙两人的作法,可判断( )
A.甲、乙均正确 B.甲、乙均错误
C.甲正确、乙错误 D.甲错误,乙正确
考点:
垂径定理;
等边三角形的判定与性质;
含30度角的直角三角形.
专题:
计算题.
分析:
由甲的思路画出相应的图形,连接OB,由BC为OD的垂直平分线,得到OE=DE,且BC与OD垂直,可得出OE为OD的一半,即为OB的一半,在直角三角形BOE中,根据一直角边等于斜边的一半可得出此直角边所对的角为30°
,得到∠OBE为30°
,利用直角三角形的两锐角互余得到∠BOE为60°
,再由∠BOE为三角形AOB的外角,且OA=OB,利用等边对等角及外角性质得到∠ABO也为30°
,可得出∠ABC为60°
,同理得到∠ACB也为60°
,利用三角形的内角和定理得到∠BAC为60°
,即三角形ABC三内角相等,进而确定三角形ABC为等边三角形;
由乙的思路画出相应的图形,连接OB,BD,由BD=OD,且OB=OD,等量代换可得出三角形OBD三边相等,即为等边三角形,的长∠BOE=∠DBO=60°
,由BC垂直平分OD,根据三线合一得到BE为角平分线,可得出∠OBE为30°
,又∠BOE为三角形ABO的外角,且OA=OB,利用等边对等角及外角的性质得到∠ABO也为30°
,即三角形ABC三内角相等,进而确定三角形ABC为等边三角形,进而得出两人的作法都正确.
解答:
解:
根据甲的思路,作出图形如下:
连接OB,
∵BC垂直平分OD,
∴E为OD的中点,且OD⊥BC,
∴OE=DE=OD,又OB=OD,
在Rt△OBE中,OE=OB,
∴∠OBE=30°
,又∠OEB=90°
,
∴∠BOE=60°
∵OA=OB,∴∠OAB=∠OBA,
又∠BOE为△AOB的外角,
∴∠OAB=∠OBA=30°
∴∠ABC=∠ABO+∠OBE=60°
同理∠C=60°
∴∠BAC=60°
∴∠ABC=∠BAC=∠C,
∴△ABC为等边三角形,
故甲作法正确;
根据乙的思路,作图如下:
连接OB,BD,
∵OD=BD,OD=OB,
∴OD=BD=OB,
∴△BOD为等边三角形,
∴∠OBD=∠BOD=60°
又BC垂直平分OD,∴OM=DM,
∴BM为∠OBD的平分线,
∴∠OBM=∠DBM=30°
又OA=OB,且∠BOD为△AOB的外角,
∴∠BAO=∠ABO=30°
∴∠ABC=∠ABO+∠OBM=60°
同理∠ACB=60°
∴∠ABC=∠ACB=∠BAC,
故乙作法正确,
故选A
点评:
此题考查了垂径定理,等边三角形的判定,含30°
直角三角形的判定,三角形的外角性质,以及等腰三角形的性质,熟练掌握定理及判定是解本题的关键.
对应训练
1.(哈尔滨)如图,⊙O是△ABC的外接圆,∠B=60°
,OP⊥AC于点P,OP=2,则⊙O的半径为( )
A.4 B.6 C.8 D.12
含30度角的直角三角形;
圆周角定理.
由∠B的度数,利用同弧所对的圆心角等于所对圆周角的2倍,求出∠AOC的度数,再由OA=OC,利用等边对等角得到一对角相等,利用三角形的内角和定理求出∠OAC=30°
,又OP垂直于AC,得到三角形AOP为直角三角形,利用30°
所对的直角边等于斜边的一半,根据OP的长得出OA的长,即为圆O的半径.
∵圆心角∠AOC与圆周角∠B所对的弧都为,且∠B=60°
∴∠AOC=2∠B=120°
又OA=OC,
∴∠OAC=∠OCA=30°
∵OP⊥AC,
∴∠AOP=90°
在Rt△AOP中,OP=2,∠OAC=30°
∴OA=2OP=4,
则圆O的半径4.
此题考查了垂径定理,圆周角定理,等腰三角形的性质,以及含30°
直角三角形的性质,熟练掌握定理及性质是解本题的关键.
考点二:
圆周角定理
例2(青海)如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点N,点M在⊙O上,∠1=∠C
(1)求证:
CB∥MD;
(2)若BC=4,sinM=,求⊙O的直径.
圆周角定理;
解直角三角形.
(1)由∠C与∠M是所对的圆周角,根据在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,即可得∠C=∠M,又由∠1=∠C,易得∠1=∠M,即可判定CB∥MD;
(2)首先连接AC,AB为⊙O的直径,可得∠ACB=90°
,又由弦CD⊥AB,根据垂径定理的即可求得=,继而可得∠A=∠M,又由BC=4,sinM=,即可求得⊙O的直径.
(1)证明:
∵∠C与∠M是所对的圆周角,
∴∠C=∠M,
又∵∠1=∠C,
∴∠1=∠M,
∴CB∥MD;
(2)解:
连接AC,
∵AB为⊙O的直径,
∴∠ACB=90°
又∵CD⊥AB,
∴=,
∴∠A=∠M,
∴sinA=sinM,
在Rt△ACB中,sinA=,
∵sinM=,BC=4,
∴AB=6,
即⊙O的直径为6.
此题考查了圆周角定理、垂径定理、平行线的判定以及三角函数等知识.此题难度适中,注意掌握辅助线的作法,注意数形结合思想的应用.
37.(沈阳)如图,⊙O是△ABC的外接圆,AB是⊙O的直径,D为⊙O上一点,OD⊥AC,垂足为E,连接BD
BD平分∠ABC;
(2)当∠ODB=30°
时,求证:
BC=OD.
垂径定理.
证明题.
(1)由OD⊥ACOD为半径,根据垂径定理,即可得,又由在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,即可证得BD平分∠ABC;
(2)首先由OB=OD,易求得∠AOD的度数,又由OD⊥AC于E,可求得∠A的度数,然后由AB是⊙O的直径,根据圆周角定理,可得∠ACB=90°
,继而可证得BC=OD.
证明:
(1)∵OD⊥AC
OD为半径,
∴,
∴∠CBD=∠ABD,
∴BD平分∠ABC;
(2)∵OB=OD,
∴∠OBD=∠0DB=30°
∴∠AOD=∠OBD+∠ODB=30°
+30°
=60°
又∵OD⊥AC于E,
∴∠OEA=90°
∴∠A=180°
-∠OEA-∠AOD=180°
-90°
-60°
=30°
又∵AB为⊙O的直径,
在Rt△ACB中,BC=AB,
∵OD=AB,
∴BC=OD.
此题考查了圆周角定理、垂径定理以及直角三角形的性质等知识.此题难度适中,注意掌握数形结合思想的应用.
考点三:
圆内接四边形的性质
例3(深圳)如图,⊙C过原点,且与两坐标轴分别交于点A、点B,点A的坐标为(0,3),M是第三象限内上一点,∠BMO=120°
,则⊙C的半径长为( )
A.6B.5C.3D.3
圆内接四边形的性质;
坐标与图形性质;
探究型.
先根据圆内接四边形的性质求出∠OAB的度数,由圆周角定理可知∠AOB=90°
,故可得出∠ABO的度数,根据直角三角形的性质即可得出AB的长,进而得出结论.
∵四边形ABMO是圆内接四边形,∠BMO=120°
∴∠BAO=60°
∵AB是⊙O的直径,
∴∠AOB=90°
∴∠ABO=90°
-∠BAO=90°
∵点A的坐标为(0,3),
∴OA=3,
∴AB=2OA=6,
∴⊙C的半径长==3.
故选C.
本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理及直角三角形的性质,熟知圆内接四边形对角互补的性质是解答此题的关键.
3.(2011•肇庆)如图,四边形ABCD是圆内接四边形,E是BC延长线上一点,若∠BAD=105°
,则∠DCE的大小是( )
A.115°
B.l05°
C.100°
D.95°
圆内接四边形的性质.
根据圆内接四边形的对角互补得到∠BAD+∠BCD=180°
,而∠BCD与∠DEC为邻补角,得到∠DCE=∠BAD=
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- 中考 数学 专题 第二十 三讲 有关 概念 性质 详细 参考答案
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