一元二次方程压轴题(含答案)Word格式文档下载.doc
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(1)求证:
x1≤1≤x2
(2)若点A(1,2),B(,1),C(1,1),点P(x1,x2)在△ABC的三条边上运动,问是否存在这样的点P,使a+b=?
若存在,求出点P的坐标;
若不存在,请说明理由.
5.(福建模拟)已知方程组有两个实数解和,且x1x2≠0,x1≠x2.
(1)求b的取值范围;
(2)否存在实数b,使得+=1?
若存在,求出b的值;
6.(成都某校自主招生)已知a,b,c为实数,且满足a+b+c=0,abc=8,求c的取值范围.
7.(四川某校自主招生)已知实数x、y满足,求xy的取值范围.
8.(福建某校自主招生)已知方程(ax+1)2=a2(1-x2)(a>1)的两个实数根x1、x2满足x1<x2,求证:
-1<x1<0<x2<1.
(答案)
解:
(1)∵关于x的一元二次方程x2+px+q+1=0有一个实数根为2
N
E
F
M
x
y
y2
y1
∴22+2p+q+1=0,整理得:
q=-2p-5
(2)∵△=p2-4q=p2-4(-2p-5)=p2+8p+20=(p+4)2+4
无论p取任何实数,都有(p+4)2≥0
∴无论p取任何实数,都有(p+4)2+4>0,∴△>0
∴抛物线y1=x2+px+q与x轴有两个交点
(3)∵抛物线y1=x2+px+q与抛物线y2=x2+px+q+1的对称轴相同,都为直线x=-,且开口大小相同,抛物线y2=x2+px+q+1可由抛物线y1=x2+px+q沿y轴方向向上平移一个单位得到
∴EF∥MN,EF=MN=1
∴四边形FEMN是平行四边形
由题意得S四边形FEMN=EF·
|-|=2,即|-|=2
∴p=±
4
2.(安徽某校自主招生)设关于x的方程x2-5x-m2+1=0的两个实数根分别为α、β,试确定实数m的取值范围,使|α|+|β|≤6成立.
∵△=52-4(-m2+1)=4m2+21
∴不论m取何值,方程x2-5x-m2+1=0都有两个不相等的实根
∵x2-5x-m2+1=0,∴α+β=5,αβ=1-m2
∵|α|+|β|≤6,∴α2+β2+2|αβ|≤36,即(α+β)2-2αβ+2|αβ|≤36
∴25-2(1-m2)+2|1-m2|≤36
当1-m2≥0,即-1≤m≤1时,25≤36成立
∴-1≤m≤1①
当1-m2<0,即m<-1或m>1时,得25-4(1-m2)≤36
解得-≤m≤
∴-≤m<-1或1<m≤②
综合①、②得:
-≤m≤
(1)∵x1,x2是一元二次方程(a-6)x2+2ax+a=0的两个实数根
∴即
假设存在实数a使-x1+x1x2=4+x2成立,则4+(x1+x2)-x1x2=0
∴4+-=0,得a=24
∵a=24满足a≥0且a≠6
∴存在实数a=24,使-x1+x1x2=4+x2成立
(2)∵(x1+1)(x2+1)=(x1+x2)+x1x2+1=++1=-
∴要使(x1+1)(x2+1)为负整数,则只需a为7,8,9,12
(1)由根与系数的关系得:
x1+x2=a+b+1,x1x2=a
∴a=x1x2,b=x1+x2-x1x2-1
∵b≥0,∴x1+x2-x1x2-1≥0
∴1-x1-x2+x1x2≤0
∴(1-x1)(1-x2)≤0
又∵x1≤x2,∴1-x1≥0,1-x2≤0
即x1≤1,x2≥1
∴x1≤1≤x2
O
1
2
C
A
B
(2)∵x1+x2=a+b+1,a+b=,∴x1+x2=
①当点P(x1,x2)在BC边上运动时
则≤x1≤1,x2=1
∴x1=-x2=-1=>1
故在BC边上不存在满足条件的点P
②当点P(x1,x2)在AC边上运动时
则x1=1,1≤x2≤2
取x2=,则x1+x2=,即a+b=
故在AC边上存在满足条件的点P(1,)
③当点P(x1,x2)在AB边上运动时
则≤x1≤1,1≤x2≤2,易知x2=2x1
∵x1+x2=,∴x1=,x2=
又∵<<1,1<<2
故在AB边上存在满足条件的点(,)
综上所述,当点P(x1,x2)在△ABC的三条边上运动时,在BC边上没有满足条件的点,而在AC、AB边上存在满足条件的点,它们分别是(1,)和(,)
(1)由已知得4x=(2x+b)2,整理得4x2+(4b-4)x+b2=0
∵x1≠x2,∴△>0,即(4b-4)2-16b2>0,解得b<
又∵x1x2≠0,∴≠0,∴b≠0
综上所述,b<且b≠0
(2)∵x1+x2=1-b,x1x2=,∴+===1得
∴b2+4b-4=0,解得b=-2±
2
∵-2+2=2(-1)>,∴b=-2+2不合题意,舍去
∴b=-2-2
∵a+b+c=0,abc=8,∴a,b,c都不为零,且a+b=-c,ab=
∴a,b是方程x2+cx+=0的两个实数根
∴△=c2-4×
≥0
当c<0时,c2-4×
≥0恒成立
当c>0时,得c3≥32,∴c≥
故c的取值范围是c<0或c≥
∵(x-y)2≥0,∴x2+y2≥2xy
∴2(x2+y2)≥(x+y)2
∴2(4a2-2a+2)≥(3a-1)2
即a2-2a-3≤0,解得-1≤a≤3
∵xy=[(x+y)2-(x2+y2)]
=[(3a-1)2-(4a2-2a+2)]
=(5a2-4a-1)
=(a-)2-
∴当a=时,xy有最小值-;
当a=3时有最大值16
∴-≤xy≤16
证明:
将原方程整理,得2a2x2+2ax+1-a2=0
-1
x1
x2
令y=2a2x2+2ax+1-a2,由于a>1,所以这是一条开口向上的抛物线
当x=0时,y=1-a2<0,∴原方程有一个正根和一个负根
又∵x1<x2,∴x1<0<x2
又当x=1时,y=2a2+2a+1-a2=(a+1)2>0
当x=-1时,y=2a2-2a+1-a2=(a-1)2>0
∴-1<x1<0<x2<1
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