中考中的费马点详解加练习Word格式.doc
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费马点问题最早是由法国数学家皮埃尔·
费马在一封写给意大利数学家埃万杰利斯塔·
托里拆利(气压计的发明者)的信中提出的。
托里拆利最早解决了这个问题,而19世纪的数学家斯坦纳重新发现了这个问题,并系统地进行了推广,因此这个点也称为托里拆利点或斯坦纳点,相关的问题也被称作费马-托里拆利-斯坦纳问题。
这一问题的解决极大推动了联合数学的发展,在近代数学史上具有里程碑式的意义。
“费马点”是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最短的点。
若给定一个三角形△ABC的话,从这个三角形的费马点P到三角形的三个顶点A、B、C的距离之和比从其它点算起的都要小。
这个特殊点对于每个给定的三角形都只有一个。
1.若三角形3个内角均小于120°
,那么3条距离连线正好三等分费马点所在的周角,即该点所对三角形三边的张角相等,均为120°
。
所以三角形的费马点也称为三角形的等角中心。
2.若三角形有一内角大于等于120°
,则此钝角的顶点就是距离和最小的点。
在1的条件下画图找费马点
如图以任意两边为边向两边做等边三角形ABD和等年三角形ACE,则CD,BE交点P即为所求
2若在≥120°
的钝角三角形中,其顶点即是。
另外,当刚好120°
且三角形BCD为等边三角形时,有个结论:
AD=AB+AC
我们拓展一道几何题,第二问对很多学生或者老师还是很酥爽的。
图1
2011房山一摸2009石景山
25.(本小题满分7分)
已知:
等边三角形ABC
如图1,P为等边△ABC外一点,且∠BPC=120°
.
试猜想线段BP、PC、AP之间的数量关系,并证明你的猜想;
图2
(2)如图2,P为等边△ABC内一点,且∠APD=120°
求证:
PA+PD+PC>BD
我们回到正题:
费马点
25.如图,在平面直角坐标系中,点的坐标为,点在轴的正半轴上,,为△的中线,过、两点的抛物线与轴相交于、两点(在的左侧).
(1)求抛物线的解析式;
(2)等边△的顶点、在线段上,求及的长;
(3)点为△内的一个动点,设,请直接写出的最小值,以及取得最小值时,线段的长.
2013房山一摸
24.
(1)如图1,△ABC和△CDE都是等边三角形,且B、C、D三点共线,联结AD、BE相交于点P,求证:
BE=AD.
(2)如图2,在△BCD中,∠BCD<120°
,分别以BC、CD和BD为边在△BCD外部作等边三角形ABC、等边三角形CDE和等边三角形BDF,联结AD、BE和CF交于点P,下列结论中正确的是 (只填序号即可)
①AD=BE=CF;
②∠BEC=∠ADC;
③∠DPE=∠EPC=∠CPA=60°
;
(3)如图2,在
(2)的条件下,求证:
PB+PC+PD=BE.
29.阅读下面材料:
小伟遇到这样一个问题:
如图1,在△ABC(其中∠BAC是一个可以变化的角)中,AB=2,AC=4,以BC为边在BC的下方作等边△PBC,求AP的最大值。
小伟是这样思考的:
利用变换和等边三角形将边的位置重新组合.他的方法是以点B为旋转中心将△ABP逆时针旋转60°
得到△A’BC,连接A’A,当点A落在A’C上时,此题可解(如图2).
(1)请你回答:
AP的最大值是.
(2)参考小伟同学思考问题的方法,解决下列问题:
如图3,等腰Rt△ABC.边AB=4,P为△ABC内部一点,请写出求AP+BP+CP的最小值长的解题思路.
提示:
要解决AP+BP+CP的最小值问题,可仿照题目给出的做法.把⊿ABP绕B点逆时针旋转60,得到.
①请画出旋转后的图形
②请写出求AP+BP+CP的最小值的解题思路(结果可以不化简).
2016一月昌平
28.已知,点O是等边△ABC内的任一点,连接OA,OB,OC.
(1)如图1,已知∠AOB=150°
,∠BOC=120°
,将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°
得△ADC.
①∠DAO的度数是;
②用等式表示线段OA,OB,OC之间的数量关系,并证明;
(2)设∠AOB=α,∠BOC=β.
①当α,β满足什么关系时,OA+OB+OC有最小值?
请在图2中画出符合条件的图形,并说明理由;
②若等边△ABC的边长为1,直接写出OA+OB+OC的最小值.
2017年一月昌平
29.如图1,在△ABC中,∠ACB=90°
,点P为△ABC内一点.
(1)连接PB,PC,将△BCP沿射线CA方向平移,得到△DAE,点B,C,P的对应点
分别为点D,A,E,连接CE.
①依题意,请在图2中补全图形;
②如果BP⊥CE,BP=3,AB=6,求CE的长.
(2)如图3,连接PA,PB,PC,求PA+PB+PC的最小值.
小慧的作法是:
以点A为旋转中心,将△ABP顺时针旋转60°
得到△AMN,那么就将PA+PB+PC的值转化为CP+PM+MN的值,连接CN,当点P落在CN上时,此题可解.
请你参考小慧的思路,在图3中证明PA+PB+PC=CP+PM+MN.
并直接写出当AC=BC=4时,PA+PB+PC的最小值.
延伸一下
2017年一月
海淀28.在△ABC中,AB=AC,∠BAC=α,点P是△ABC内一点,且.连接PB,试探究PA,PB,PC满足的等量关系.
图1图2
(1)当α=60°
时,将△ABP绕点A逆时针旋转60°
得到,连接,如图1所示.由≌可以证得是等边三角形,再由可得∠APC的大小为度,进而得到是直角三角形,这样可以得到PA,PB,PC满足的等量关系为;
(2)如图2,当α=120°
时,请参考
(1)中的方法,探究PA,PB,PC满足的等量关系,并给出证明;
(3)PA,PB,PC满足的等量关系为.
2016年顺义一摸
28.已知:
在△ABC中,∠BAC=60°
(1)如图1,若AB=AC,点P在△ABC内,且∠APC=150°
,PA=3,PC=4,把△APC绕着点A顺时针旋转,使点C旋转到点B处,得到△ADB,连接DP
①依题意补全图1;
②直接写出PB的长;
(2)如图2,若AB=AC,点P在△ABC外,且PA=3,PB=5,PC=4,求∠APC的度数;
(3)如图3,若AB=2AC,点P在△ABC内,且PA=,PB=5,∠APC=120°
,请直接写出PC的长.
26、如图,四边形ABCD是正方形,△ABE是等边三角形,M为对角线BD(不含B点)上任意一点,将BM绕点B逆时针旋转60°
得到BN,连接EN、AM、CM.
(1)求证:
△AMB≌△ENB;
(2)①当M点在何处时,AM+CM的值最小;
②当M点在何处时,AM+BM+CM的值最小,并说明理由;
(3)当AM+BM+CM的最小值为时,求正方形的边长.
在矩形ABCD中,点P在矩形内,点Q在BC上,AD=5,AB=3,
求AP+DP+PQ的最小值
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