三角形的证明单元测试题Word文件下载.docx
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5.如图,已知,,,下列结论:
1;
2;
3;
4△≌△.
其中正确的有( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
6.在△ABC中,∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3,最短边cm,则最长边AB的长是()
A.5cm B.6cm C.cm D.8cm
7.如图,已知,,下列条件能使△≌△的是
( )
A.B.
C.D.三个答案都是
8.如图,在△ABC中,∠A=36°
,AB=AC,BD是△ABC的角平分线,若在边AB上截取BE=BC,连接DE,则图中等腰三角形共有( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
9.已知一个直角三角形的周长是2,斜边上的中线长为2,则这个三角形的面积为()
A.5 B.2 C. D.1
10.如图,在△ABC中,AB的垂直平分线交AC于点D,交AB于点E,如果cm,那么△的周长是()
A.6cm B.7cm C.8cm D.9cm
二、填空题(每小题3分,共24分)
11.如图所示,在等腰△ABC中,AB=AC,∠BAC=50°
∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O,点C沿EF折叠后与点O重合,则∠OEC的度数是.
12.若一个三角形的三条高线交点恰好是此三角形的一个顶点,则此三角形是________三角形.
13.如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,DE垂直平分AB,已知∠ADE=40°
,则∠DBC=________°
.
14.如图,在△ABC中,,AM平分∠,cm,则点M到AB的距离是_________.
15.如图,在等边△ABC中,F是AB的中点,FE⊥AC于E,若△ABC的边长为10,则
_________,_________.
16.在△ABC中,AB=4,AC=3,AD是△ABC的角平分线,则△ABD与△ACD的面积之比是.
17.如图,已知的垂直平分线交于点,则.
18.一副三角板叠在一起如图所示放置,最小锐角的顶点D恰好放在等腰直角三角板的斜边AB上,BC与DE交于点M,如果∠ADF=100°
那么∠BMD为度.
三、解答题(共46分)
19.(6分)如图,在△ABC中,,是上任意一点(M与A不重合),MD⊥BC,且交∠的平分线于点D,求证:
20.(6分)联想三角形外心的概念,我们可引入如下概念.
定义:
到三角形的两个顶点距离相等的点,叫做此三角形的准外心.
举例:
如图
(1),若PA=PB,则点P为△ABC的准外心.
应用:
如图
(2),CD为等边三角形ABC的高,准外心P在高CD上,且PD=AB,求∠APB的度数.
探究:
已知△ABC为直角三角形,斜边BC=5,AB=3,准外心P在AC边上,试探PA
的长.
21.(6分)如图所示,在四边形中,平分∠.
求证:
22.(6分)如图所示,以等腰直角三角形ABC的斜边AB为边作等边△ABD,连接DC,以DC为边作等边△DCE,B,E在C,D的同侧,若,求BE的长.
23.(6分)如图所示,在Rt△ABC中,,点D是AC的中点,将一块锐角为45°
的直角三角板如图放置,使三角板斜边的两个端点分别与A,D重合,连接BE,EC.试猜想线段BE和EC的数量及位置关系,并证明你的猜想.
24.(8分)(2015·
陕西中考)如图,在△ABC中,AB=AC,作AD⊥AB交BC的延长线于点D,作AE∥BD,CE⊥AC,且AE,CE相交于点E.求证:
AD=CE.
第24题图
25.(8分)已知:
如图,,是上一点,于点,的延长线交的延长线于点.求证:
△是等腰三角形.
第一章三角形的证明检测题参考答案
1.B解析:
只有②④正确.
2.A解析:
∵∠BAC=90°
,AB=3,AC=4,
∴
∴BC边上的高=
∵AD平分∠BAC,∴点D到AB,AC的距离相等,设为h,
则解得
解得故选A.
3.B解析:
因为,所以.
又因为,
所以,
所以所以
4.C解析:
当等腰三角形的腰长是2,底边长是4时,等腰三角形的三边长是2,2,4,根据三角形的三边关系,不能构成三角形,所以不合题意,舍去;
当等腰三角形的腰长是4,底边长是2时,等腰三角形的三边长是4,4,2,根据三角形的三边关系,能构成三角形,所以该三角形的周长为4+4+2=10.
5.C解析:
因为,
所以△≌△(),
所以,
即故3正确.
又因为,
所以△≌△(ASA),
所以,故1正确.
由△≌△,知,
所以△≌△,故4正确.
由于条件不足,无法证得2
故正确的结论有:
134.
6.D解析:
因为∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3,
所以△ABC为直角三角形,且∠C为直角.
又因为最短边cm,则最长边cm.
7.D解析:
添加A选项中条件可用“AAS”判定两个三角形全等;
添加B选项中条件可用“SAS”判定两个三角形全等;
添加C选项中条件可用“HL”判定两个三角形全等.故选D.
8.D解析:
在△ABC中,∵∠A=36°
,AB=AC,
∴△ABC是等腰三角形,∠ABC=∠C=72°
∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠CBD=36°
,
∴∠A=∠ABD,∠CDB=∠A+∠ABD=36°
+36°
=72°
∴∠C=∠CDB,∴△ABD,△CBD都是等腰三角形.
∴BC=BD.∵BE=BC,∴BD=BE,
∴△EBD是等腰三角形,
∴∠BED===72°
在△AED中,∵∠A=36°
,∠BED=∠A+∠ADE,∴∠ADE=∠BED-∠A=72°
-36°
=36°
,∴∠ADE=∠A=36°
,∴△AED是等腰三角形.
∴图中共有5个等腰三角形.
9.B解析:
设此直角三角形为△ABC,其中
因为直角三角形斜边的长等于斜边上中线长的2倍,所以
又因为直角三角形的周长是,所以.
两边平方,得,即.
由勾股定理知,
所以,所以.
10.D解析:
因为垂直平分,所以.
所以△的周长(cm).
11.100°
解析:
如图所示,由AB=AC,AO平分∠BAC,得AO所在直线是线段BC的垂直平分线,连接OB,则OB=OA=OC,
所以∠OAB=∠OBA=×
50°
=25°
得∠BOA=∠COA=
∠BOC=360°
-∠BOA-∠COA=100°
所以∠OBC=∠OCB==40°
由于EO=EC,故∠OEC=180°
-2×
40°
=100°
12.直角解析:
直角三角形的三条高线交点恰好是此三
角形的一个顶点;
锐角三角形的三条高线交点在此三角形的内部;
钝角三角形的三条高线交点在三角形的外部.
13.15解析:
在Rt△AED中,∠ADE=40°
,所以∠A=50°
因为AB=AC,所以∠ABC=(180°
-50°
)÷
2=65°
因为DE垂直平分AB,所以DA=DB,
所以∠DBE=∠A=50°
所以∠DBC=65°
=15°
14.20cm解析:
根据角平分线的性质:
角平分线上的点到角两边的距离相等可得答案.
15.1∶3解析:
因为,F是AB的中点,所以.
在Rt△中,因为,所以.
又,所.
16.4∶3解析:
如图所示,过点D作DM⊥AB,DN⊥AC,
垂足分别为点M和点N.
∵AD平分∠BAC,∴DM=DN.
∵AB×
DM,
AC×
DN,
∴.第16题答图
17.解析:
∵∠BAC=120,AB=AC,
∴∠B=∠C=
∵AC的垂直平分线交BC于点D,∴AD=CD.
∴
18.85解析:
∵∠BDM=180°
-∠ADF-∠FDE=180°
-100°
-30°
=50°
∴∠BMD=180°
-∠BDM-∠B=180°
-50°
-45°
=85°
19.证明:
∵,
∴∥,∴.
又∵为∠的平分线,
∴,∴,
∴.
20.解:
若PB=PC,连接PB,则∠PCB=∠PBC.
∵CD为等边三角形的高,∴AD=BD,∠PCB=30°
∴∠PBD=∠PBC=30°
,∴
与已知PD=AB矛盾,∴PB≠PC.
若PA=PC,连接PA,同理,可得PA≠PC.
若PA=PB,由PD=AB,得PD=BD,∴∠BPD=45°
,∴∠APB=90°
若PB=PC,设PA=x,则x2+32=(4-x)2,∴x=,即PA=.
若PA=PC,则PA=2.
若PA=PB,由图
(2)知,在Rt△PAB中,这种情况不可能.故PA=2或.
21.证明:
如图,过点D作DE⊥AB交BA的延长线于点E,
过点D作于点F.
因为BD平分∠ABC,所以.
在Rt△EAD和Rt△FCD中,
所以Rt△EAD≌Rt△FCD(HL).
所以∠=∠.
因为∠∠80°
所以∠.
22.解:
因为△ABD和△CDE都是等边三角形,
所以,∠∠60°
所以∠∠∠∠,
即∠∠.
在△和△中,因为
所以△≌△,所以.
又,所以.
在等腰直角△中,,故.
23.解:
,BE⊥EC.
证明:
∵,点D是AC的中点,∴.
∵∠∠45°
,∴∠∠135°
∵,∴△EAB≌△EDC.
∴∠∠.
∴∠∠90°
.∴⊥.
24.证明:
∵AE∥BD,∴∠EAC=∠ACB.
∵AB=AC,∴∠B
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