《整式的乘除》全章复习与巩固--知识讲解(提高)Word文档下载推荐.doc
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幂的乘方,底数不变,指数相乘.
3.积的乘方:
积的乘方,等于各因数乘方的积.
4.同底数幂的除法:
(≠0,为正整数,并且).
同底数幂相除,底数不变,指数相减.
5.零指数幂:
即任何不等于零的数的零次方等于1.
要点诠释:
公式中的字母可以表示数,也可以表示单项式,还可以表示多项式;
灵活地双向应用运算性质,使运算更加方便、简洁.
要点二、整式的乘法和除法
1.单项式乘以单项式
单项式与单项式相乘,把他们的系数,相同字母分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式.
2.单项式乘以多项式
单项式与多项式相乘,就是用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加.即(都是单项式).
3.多项式乘以多项式
多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加.即.
要点诠释:
运算时,要注意积的符号,多项式中的每一项前面的“+”“-”号是性质符号,单项式乘以多项式各项的结果,要用“+”连结,最后写成省略加号的代数和的形式.根据多项式的乘法,能得出一个应用比较广泛的公式:
.
4.单项式相除
把系数、相同字母的幂分别相除作为商的因式,对于只在被除式里出现的字母,则连同它的指数一起作为商的一个因式.
5.多项式除以单项式
先把这个多项式的每一项分别除以单项式,再把所得的商相加.
即:
要点三、乘法公式
1.平方差公式:
两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差.
要点诠释:
在这里,既可以是具体数字,也可以是单项式或多项式.
平方差公式的典型特征:
既有相同项,又有“相反项”,而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.
2.完全平方公式:
两数和(差)的平方等于这两数的平方和加上(减去)这两数乘积的两倍.
;
公式特点:
左边是两数的和(或差)的平方,右边是二次三项式,是这两数的平方和加(或减)这两数之积的2倍.
要点四、因式分解
把一个多项式化成几个整式的积的形式,像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解,也叫做把这个多项式分解因式.
因式分解的方法主要有:
提公因式法,公式法等.
落实好方法的综合运用:
首先提取公因式,然后考虑用公式;
两项平方或立方,三项考虑完全平方;
四项以上想分组,分组分得要合适;
几种方法反复试,最后须是连乘式;
因式分解要彻底,一次一次又一次.
【典型例题】
类型一、幂的运算
1、已知,求的值.
【思路点拨】由于已知的值,所以逆用幂的乘方把变为,再代入计算.
【答案与解析】
解:
∵,
∴.
【总结升华】本题培养了学生的整体思想和逆向思维能力.
举一反三:
【变式】
(1)已知,比较的大小.
(2)比较大小。
【答案】
(1);
(2)
提示:
(1)转化为同指数不同底数的情况进行比较,指数转化为12;
(2)转化成比较同底数不同指数,底数转化为3.
类型二、整式的乘除法运算
2、(2015•杭州模拟)已知代数式(mx2+2mx﹣1)(xm+3nx+2)化简以后是一个四次多项式,并且不含二次项,请分别求出m,n的值,并求出一次项系数.
【思路点拨】先把代数式按照多项式乘以多项式展开,因为化简后是一个四次多项式,所以x的最高指数m+2=4;
不含二次项,即二次项的系数为0,即可解答.
(mx2+2mx﹣1)(xm+3nx+2)=mxm+2+3mnx3+2mx2+2mxm+1+6mnx2+4mx﹣xm﹣3nx﹣2,
因为该多项式是四次多项式,
所以m+2=4,
解得:
m=2,
原式=2x4+(6n+4)x3+(3+12n)x2+(8﹣3n)x﹣2
∵多项式不含二次项,
∴3+12n=0,
n=,
所以一次项系数8﹣3n=8+=.
【总结升华】本题考查了多项式乘以多项式,解决本题的关键是明确化简后是一个四次多项式,所以x的最高指数m+2=4;
【变式】若的乘积中不含的一次项,则等于______.
【答案】;
类型三、乘法公式
3、计算:
(2).
【思路点拨】
(1)中可以将两因式变成与的和差.
(2)中可将两因式变成与的和差.
【答案与解析】
(1)原式
.
(2)原式
.
【总结升华】
(1)在乘法计算中,经常同时应用平方差公式和完全平方公式.
(2)当两个因式中的项非常接近时,有时通过拆项用平方差公式会达到意想不到的效果.
【变式】计算:
4、已知,求代数式的值.
【思路点拨】将原式配方,变成几个非负数的和为零的形式,这样就能解出.
所以
所以.
【总结升华】一个方程,三个未知数,从理论上不可能解出方程,尝试将原式配方过后就能得出正确答案.
【变式1】配方,求=________.
原式=
所以,解得
【变式2】
(2015春•祁阳县期末)课堂上老师指出:
若a,b,c是△ABC的三边长,且满足a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac=0,请判断该三角形的形状.小明在与同学一起合作探究这个问题时,说出了自己的猜想及理由,得到了老师的赞扬.请你写出小明的猜想和理由.
依题意得:
所以(a﹣b)2+(b﹣c)2+(c﹣a)2=0
所以a=b,b=c,c=a.
故△ABC是等边三角形.
5、求证:
无论为何有理数,多项式的值恒为正数.
所以多项式的值恒为正数.
【总结升华】通过配方,将原式变成非负数+正数的形式,这样可以判断多项式的正负.
【变式】证明:
不论为何值,多项式的值一定小于0.
证明:
=
=
∵,
∴,
∴原式一定小于0.
类型四、因式分解
6、若,则E是( )
A.B.C.D.
【答案】C;
【解析】
.故选C.
【总结升华】观察等式的右边,提取的是,故可把变成,即左边=.注意偶次幂时,交换被减数和减数的位置,值不变;
奇次幂时,交换被减数和减数的位置,应加上负号.
【变式】把多项式提取公因式后,余下的部分是( )
A.B.C.2D.
【答案】D;
,
=,
=.
7、分解因式:
(2);
(3).
(1)把看做整体,变形为后分解.
(2)可写成,可写成,和分别相当于公式里的和.(3)把、看作一个整体进行分解.
(1).
(2)
(3)
【总结升华】注意套用公式时要注意字母的广泛意义,可以是字母,也可以是单项式或多项式.
【变式】将下列各式分解因式:
(2)
(3);
(4);
(1)原式
(2)原式=
=
(3)原式
(4)原式
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- 整式的乘除 整式 乘除 复习 巩固 知识 讲解 提高
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