数值计算课程设计报告(插值法)Word格式文档下载.docx
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函数类的不同,自然地有不同的逼近效果。
二、背景分析
在许多实际问题及科学研究中,因素之间往往存在着函数关系,然而,这种关系经常很难有明显的解析表达,通常只是由观察与测试得到一些离散数值。
有时,即使给出了解析表达式,却由于表达式过于复杂,不仅使用不便,而且不易于进行计算与理论分析。
解决这类问题的方法有两种:
一种是插值法插值法,另一种是一拟合法。
插值法是一种古老的数学方法,它来自生产实践,早在一千多年前,我国科学家在研究历法上就应用了线性插值与二次插值,但它的基本理论却是在微积分产生之后才逐渐完善的,其应用也日益增多,特别是在计算机软件中,许多库函数,如,cos,sinex等的计算实际上归结于它的逼近函数的计算。
逼近函数一般为只含有算术运算的简单函数,如多项式、有理分式(即多项式的商)。
在工程实际问题当中,我们也经常会碰到诸如此类的函数值计算问题。
被计算的函数有时不容易直接计算,如表达式过于复杂或者只能通过某种手段获取该函数在某些点处的函数值信息或者导数值信息等。
因此,我们希望能用一个“简单函数”逼近被计算函数,然后用该简单函数的函数值近似替代被计算函数的函数值。
这种方法就叫插值逼近或者插值法。
插值法要求给出函数f(x)的一个函数表,然后选定一种简单的函数形式,比如多项式、分段线性函数及三角多项式等,通过已知的函数表来确定一个简单的函数作为f(x)的近似,概括地说,就是用简单函数为离散数组建立连续模型。
三、基本算法思想与实现
·
已知个数据节点:
构造一个(相对简单)函数(称为插值函数),通过全部结点即
(j=0,1,…n)再用计算插值,即
数学上插值方法非常多,这里介绍几种常用方法:
1·
插值函数
插值函数的基本思想:
将待求的次插值多项式写成另一种表达方,式再利用插值条件确定出插值基函由基函数条件,确定多项式系数,进而可得插值函数.
(1)已知,求满足条件的插值函数。
由题可知表示过两点的直线,这个问题是我们所熟悉的,它的解可表为下列对称式
此类一次插值称为线性插值,若令
(由此可得:
))
则有
这里的可以看作是满足条件的插值多项式,这两个特殊的插值多项式称作上述问题的插值基函数。
(2)求过三点的插值函数。
为了得到插值多项式先解决一个特殊的二次插值问题。
求作二次式,使满足(2-1)
这个问题是容易求解的,由式(2-1)的后两个条件知是的两个零点,
因而。
再用条件确定系数c.
结果得:
类似可以分别构造出满足条件的插值多项式;
其表达式分别为,
这样构造出的称作问题
(2)的插值基函数。
设取已知数据作为组合系数,将插值基函数组合得
验证可知,这样构造的满足已知条件,因而它就是问题
(2)的解。
(3)推广到一般:
已知函数在n+1个不同点上的函数值分别为
求一个次数不超过n的多项式,使其满足:
即个不同的点可以决定的一个次多项式。
过个不同的点分别决定个次插值基函数。
每个插值基多项式满足:
a.是次多项式;
b.,而在其它个点
由于故有因子:
因其已经是n次多项式,故而仅相差一个常数因子。
令:
由,可以定出,进而得到:
次拉格朗日型插值多项式
是个次插值基本多项式的线性组合,相应的组合系数是。
即:
从而是一个次数不超过n的多项式,且满足
2·
插值函数的构造
插值法的基本思想:
已知节点处的函数值或一元函数代数方程,将待求的n次插值多项式改写为具有承袭性的形式,然后根据插值条件或选取初值以求得待定系数,进而求得所要的插值函数。
实践中的许多问题归结为求一元代数方程的根,如果是线性函数,则它的求根较容易;
对非线性方程,只有不高于4次的代数方程有求根公式,经常需求出高于4次
的满足一定精度要求的近似解。
法的简述
设是的一个近似根,把在处泰勒展开
若取前两项来近似代替,则的近似线性方程
设0,设其根为,则的计算公式为
=-(k=0,1,2.....)
这即为牛顿法,上式为牛顿迭代公式,其迭代函数为
我们知道,牛顿法是解非线性方程最著名和最有效的方法之一,在单根附近它比一般的迭代格式有较快的收速度,但也要注意它也有缺点:
首先,它对迭代初值选取要求较严,初值选取不好,可能导致吧收敛;
其次,它每迭代一次要计算的值,这势必增加可计算量。
为回避该问题,常用一个固定的迭代若干步后再求。
这就是下面要讲的简化牛顿法的基本思想。
简化牛顿法和下山牛顿法
简化牛顿法的公式为
(3-1)
迭代函数
若。
即在根附近成立。
则迭代法(3-1)
局部收敛。
此法显然化简了计算量。
牛顿下山法
牛顿法的收敛依赖于初值的选取,若偏离较远,则牛顿法可能发散。
为防止迭代发散,我们对迭代过程在附加一项条件,即具有单调性:
(3-2)
保证函数值稳定下降,然后结合牛顿法加快收敛速度,即可达目的。
将牛顿法的计算结果
(3-3)
于前一步的近似值适当加权平均作为新的改进值
(3-4)
其中称()为下山因子,即为
(3-5)
称为牛顿下山法。
选择下山因子时,从开始逐次将减半进行试算。
直到满足条件(3-2)为止。
3·
插值法
已知函数在给定个互异的节点,...上的函数值和导数值,求一个次多项式满足插值条件
()=,.k=0,1,2...n
插值基本原理
通常如上条件的Hermite型插值是通过构造相应的插值基函数来完成的,为方便起见以n=1为例,说明传统的求解方法,设给定的,和相应的函数值,及微商值,构造插值函数。
由构造函数的办法可知:
对应于和点函数值的插值函数分别为及
而对应的和点导数值的插值基函数分别为和
,因此所要求的插值函数
(2-1)
由上可发现构造插值基函数比较复杂,尤其对具有高阶导数插值条件的情况,以下将基于newton插值方法提出构造上述条件的简单格式。
此时传统方法可视为这里的特例。
四、具体应用实例分析
1已知,用线性插值法求的近似值.
解:
Matlab中有直接进行线性插值计算的命令interp1,直接使用interp1命令即可.
>
x=[49];
y=[23];
f=interp1(x,y,7,'
linear'
)%选项使用线性插值
f=
2.6000
故插值计算结果为
2设,给出数据如下,用Lagrange插值法求的近似值.
0.4
0.5
0.7
0.8
-0.916291
-0.693147
-0.356675
-0.223144
求解过程描述如下:
formatlong;
%输入初始数据
x0=[0.40.50.70.8];
y0=[-0.916291-0.693147-0.356675-0.223144];
x=0.6;
%插值点
n=length(x0);
s=0;
%进入迭代计算过程
forj=0:
(n-1)
t=1;
fori=0:
ifi~=j
t=t*(x-x0(i+1))/(x0(j+1)-x0(i+1));
end
end
s=s+t*y0(j+1);
end
s%显示输出结果
formatshort;
程序运行结果如下:
s=
-0.509975500000000
因此利用插值的计算结果为.
3设有如下数据,利用插值法求的近似值.
0.40
0.55
0.65
0.80
0.90
1.05
0.41075
0.57815
0.69675
0.88811
1.02652
1.25382
求解程序如下
clc;
formatlong;
%显示15位
x0=[0.400.550.650.800.901.05];
%x的值
y0=[0.410750.578150.696750.888111.026521.25382];
%y的值
x=0.596;
n=max(size(x0));
y=y0
(1);
%迭代初始值
disp(y);
s=1;
dx=y0;
fori=1:
n-1%构造差商表
dx0=dx;
forj=1:
n-i
dx(j)=(dx0(j+1)-dx0(j))/(x0(i+j)-x0(j));
end
df=dx
(1);
s=s*(x-x0(i));
y=y+s*df;
%计算
disp(y);
运行上述程序结果如下:
0.410750000000000
0.629486000000000
0.632010480000000
0.631914405504000
0.631917508079616
0.631917499231745
因此插值结果为
4给出的数据见下表,用Hermite插值多项式求的近似值,并估计其误差.
0.50
0.70
2.50
2.00
1.43
1.25
解:
先建立实现插值的M文件函数,源程序如下:
functiony=hermite(x0,y0,dy,x)
%hermite.m
%Hermite插值计算
%x0为输入节点的向量;
y0为y的值向量,
%dy为相应节点一阶倒数的函数值的向量,x为所要求的插值节点.
m=length(x);
fork=1:
m
yy=0.0;
fori=1:
n
h=1.0;
a=0.0;
forj=1:
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