一元一次方程知识点整理Word文件下载.doc
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①时,方程有唯一解;
②时,方程有无穷解;
③时,方程无解。
⑵一元一次方程:
在整式方程中,只含有个未知数,并且未知数的次数是,系数不等于0的方程叫做一元一次方程;
它的一般形式为.
3.判断一元一次方程的条件
1.首先是一元一次方程。
2.其次是必须只含有一个未知数
3.未知数的指数是1
4.分母中不含有未知数
例1:
判定下列那些方程,那些是一元一次方程?
,,
注意:
1、分式的含义,分式不能在方程中出现。
2、必须进行方程的化简,最后的结果中,仍然满足满足一元一次方程的定义时才可。
3、是字母,但不是未知数,是一个常数。
(2)典型例题
例1、下列方程①②③2(x+1)+3=④3(2x+5)-2(x-1)=4x+6.一元一次方程共有()个.A.1 B.2 C.3 D.4
例2、如果(m-1)x|m|+5=0是一元一次方程,那么m=___.
例3、一个一元一次方程的解为2,请写出一个这样的一元一次方程.
解方程
1:
等式的基本性质
等式的性质
(1):
等式两边都加上(或减去)同个数(或式子),结果仍是等式。
用式子形式表示为:
如果a=b,那么a±
c=b±
c。
等式的性质
(2):
等式两边同时乘以同一个数,或除以同一个不为0的数,结果仍是等式。
用式子形式表示为:
如果a=b,那么ac=bc;
如果a=b(c≠0),那么=
⑴等式:
用等号“=”来表示关系的式子叫等式.
⑵性质:
等式的性质①如果,那么;
等式的性质②如果,那么;
如果,那么.
要点诠释:
分数的分子、分母同时乘以或除以同一个不为0的数,分数的值不变。
即:
(其中m≠0)
特别须注意:
分数的基本的性质主要是用于将方程中的小数系数(特别是分母中的小数)化为整数,如方程:
将其化为:
。
方程的右边没有变化,这要与“去分母”区别开。
典型例题
例1、已知等式,则下列等式中不一定成立的是()
(A)(B)(C)(D)
例2、下列说法正确的是( )
A、在等式ab=ac中,两边都除以a,可得b=cB、在等式a=b两边都除以c2+1可得
C、在等式两边都除以a,可得b=cD、在等式2x=2a一b两边都除以2,可得x=a一b
例3、将等式4x=2x+8变形为x=4,下列说法正确的是()
A运用了等式的性质1,没有运用等式的性质2
B运用了等式的性质2,没有运用等式的性质1
C既运用了等式的性质1,又运用等式的性质2
D等式的两条性质都没有运用
3.解一元一次方程的一般步骤
常用步骤
具体做法
依据
注意事项
去分母
在方程两边都乘以各分母的最小公倍数
等式基本性质2
防止漏乘(尤其整数项),注意添括号;
去括号
一般先去小括号,再去中括号,最后去大括号
去括号法则、分配律
注意变号,防止漏乘;
移项
把含有未知数的项都移到方程的一边,其他项都移到方程的另一边(记住移项要变号)
等式基本性质1
移项要变号,不移不变号;
合并同类项
把方程化成ax=b(a≠0)的形式
合并同类项法则
计算要仔细,不要出差错;
系数化成1
在方程两边都除以未知数的系数a,得到方程
的解x=
计算要仔细,分子分母勿颠倒
例1.巧解含有绝对值的方程|x-2|-3=0
思路点拨:
解含有绝对值的方程的基本思想是先去掉绝对值符号,转化为一般的一元一次方程。
对于只含一重绝对值符号的方程,依据绝对值的意义,直接去绝对值符号,化为两个一元一次方程分别解之,即若|x|=m,则x=m或x=-m;
也可以根据绝对值的几何意义进行去括号,如解法二。
解法一:
移项,得|x-2|=3
当x-2≥0时,原方程可化为x-2=3,解得x=5
当x-2<0时,原方程可化为-(x-2)=3,解得x=-1。
所以方程|x-2|-3=0的解有两个:
x=5或x=-1。
解法二:
移项,得|x-2|=3。
因为绝对值等于3的数有两个:
3和-3,所以x-2=3或x-2=-3。
分别解这两个一元一次方程,得解为x=5或x=-1。
例2.运用拆项法解方程:
思路点拨:
注意到,在解有分母的一元一次方程时,可以不直接去分母,而是逆用分数加减法法则,拆项后再合并,有时可以使运算简便。
解:
原方程逆用分数加减法法则,得
移项、合并同类项,得。
系数化为1,得
例3.利用整体思想解方程:
因为含有的项均在“”中,所以我们可以将作为一个整体,先求出整体的值,进而再求的值。
移项通分,得:
化简,得:
移项,系数化1得:
一元一次方程练习题
1、2(x-5)+(x-4)=3(2x-1)-(5x+3)2、
3、4、
5、k取什么整数时,方程2kx-4=(k+2)·
x的解是正整数?
6、小张在解方程(x为未知数)时,误将-2x看成2x得到的解为,
请你求出原来方程的解
4
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列一元一次方程解应用题
一、列一元一次方程解应用题的一般步骤
(1)审题,分析题中已知什么,未知什么,明确各量之间的关系,寻找等量关系.
(2)设未知数,一般求什么就设什么为x,但有时也可以间接设未知数.
(3)列方程,把相等关系左右两边的量用含有未知数的代数式表示出来,列出方程.
(4)解方程.
(5)检验,看方程的解是否符合题意.
(6)写出答案.
二、解应用题的书写格式:
设→根据题意→解这个方程→答。
三、常见的一些等量关系
常见列方程解应用题的几种类型:
类型
基本数量关系
等量关系
(1)和、差、倍、分问题
①较大量=较小量+多余量
②总量=倍数×
倍量
抓住关键性词语
(2)等积变形问题
变形前后体积相等
(3)行程问题
相遇问题
路程=速度×
时间
甲走的路程+乙走的路程=两地距离
追及问题
同地不同时出发:
前者走的路程=追者走的路程
同时不同地出发:
前者走的路程+两地距离=追者所走的路程
顺逆流问题
顺流速度=静水速度+水流速度
逆流速度=静水速度-水流速度
顺流的距离=逆流的距离
(4)打折销售问题
售价=标价(原价)×
折数/10
商品利润=商品售价-商品进价
利润率=×
100%
售价=进价×
(1+利润率)
抓住价格升降对利润率的影响来考虑
(5)工程问题
工作总量=工作效率×
工作时间
各部分工作量之和=1
(6)数字问题
设一个两位数的十位上的数字、个位上的数字分别为a,b,则这个两位数可表示为10a+b
抓住数字所在的位置或新数、原数之间的关系
(7)储蓄问题
利息=本金×
利率×
期数
本息和=本金+利息=本金+本金×
期数×
(1-利息税率)
(8)按比例分配问题
甲∶乙∶丙=a∶b∶c
全部数量=各种成分的数量之和(设一份为x)
(9)日历中的问题
日历中每一行上相邻两数,右边的数比左边的数大1;
日历中每一列上相邻的两数,下边的数比上边的数大7
日历中的数a的取值范围是1≤a≤31,且都是正整数
四、各类型题型分类讲解
1.和、差、倍、分问题:
增长量=原有量×
增长率现在量=原有量+增长量
(1)倍数关系:
通过关键词语“是几倍,增加几倍,增加到几倍,增加百分之几,增长率……”来体现.
(2)多少关系:
通过关键词语“多、少、和、差、不足、剩余……”来体现.
例1:
兄弟二人今年分别为15岁和9岁,多少年后兄的年龄是弟的年龄的2倍?
解:
设x年后,兄的年龄是弟的年龄的2倍,
则x年后兄的年龄是15+x,弟的年龄是9+x.
由题意,得2×
(9+x)=15+x
18+2x=15+x,移向得:
2x-x=15-18
∴x=-3
答:
3年前兄的年龄是弟的年龄的2倍.
(点拨:
-3年的意义,并不是没有意义,而是指以今年为起点前的3年,是与3年后具有相反意义的量)
1.一个数的3倍比它的2倍多10,若设这个数为x,可得到方程__________.
2.用一根长80厘米的绳子围成一个长方形,且这个长方形的长比宽多10厘米,则这个长方形的长和宽各是_______、________.面积是_______.
2.等积变形题型
等积变形”是以形状改变而体积不变为前提。
常用等量关系为:
①形状面积变了,周长没变;
②原料体积=成品体积。
典型例题:
1、一块正方形铁皮,四角截去4个一样的小正方形,折成底面边长是50cm的无盖长方体盒子,容积是45000.求原来正方形铁皮的边长。
2、用长7.2m的木料做成如图所示的“日”字形窗框,窗的高比宽多0.6m。
求窗的高和宽。
(不考虑木料加工时损耗)
3、鱼儿离不开水,用一个底面半径为20厘米,高为45厘米的圆柱形的塑料桶给一个长方形的玻璃养鱼缸倒水,养鱼缸的长为120厘米、宽为40厘米、高为1米,将满满一桶水倒下去,鱼缸里的水会升高多少?
3.行程问题:
时间时间=路程÷
速度速度=路程÷
(1)相遇问题:
快行距+慢行距=原距
(2)追及问题:
快行距-慢行距=原距
(3)航行问题:
顺水(风)速度=静水(风)速度+水流(风)速度
逆水(风)速度=静水(风)速度-水流(风)速度
抓住两码头间距离不变,水流速和船速(静不速)不变的特点考虑相等关系.
例1甲、乙两站相距480公里,一列慢车从甲站开出,每小时行90公里,一列快车从乙站开出,每小时行140公里。
(1)慢车先开出1小时,快车再开。
两车相向而行。
问快车开出多少小时后两车相遇?
(2)两车同时开出,相背而行多少小时后两车相距600公里?
(3)
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