奥数 六年级竞赛 几何直线形面积 燕尾定理教师版Word文档格式.docx
- 文档编号:14636954
- 上传时间:2022-10-23
- 格式:DOCX
- 页数:14
- 大小:435.46KB
奥数 六年级竞赛 几何直线形面积 燕尾定理教师版Word文档格式.docx
《奥数 六年级竞赛 几何直线形面积 燕尾定理教师版Word文档格式.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《奥数 六年级竞赛 几何直线形面积 燕尾定理教师版Word文档格式.docx(14页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
燕尾定理因为图形类似燕尾而得名,它的特殊性在于,它可以存在于任何一个三角形之中,为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径.通过一道例题证明一下燕尾定理:
举例:
如右图,D是BC上任意一点,请你说明S1S4S2S3BDDC
【分析】三角形BED与三角形CED同高,分别以BD、DC为底,
所以有S1S4BDDC;
三角形ABE与三角形EBD同高,S1S2EDEA三角形ACE与三角形CED同高,S4S3,所以S1S4S2S3;
综上可得S1S4S2S3BDDC.
用燕尾定理求面积
【例1】如图,已知,,三角形的面积是30,求阴影部分面积.
【分析】题中条件只有三角形面积给出具体数值,其他条件给出的实际上是比例的关系,由此我们可以初步判断这道题不应该通过面积公式求面积.又因为阴影部分是一个不规则四边形,所以我们需要对它进行改造,那么我们需要连一条辅助线,
(法一)连接,因为,,三角形的面积是30,
所以,.
根据燕尾定理,,,
所以,,
所以阴影部分面积是.
(法二)连接,由题目条件可得到,
,所以,
,
而.所以阴影部分的面积为.
[铺垫]右图的大三角形被分成5个小三角形,其中4个的面积已经标在图中,那么,阴影三角形的面积是.
【分析】方法一:
整个题目读完,我们没有发现任何与边长相关的条件,也没有任何与高或者垂直有关系的字眼,由此,我们可以推断,这道题不能依靠三角形面积公式求解.我们发现右图三角形中存在一个比例关系:
,解得.
方法二:
回顾下燕尾定理,有,解得.
【例2】如右图,三角形ABC中,BDDC49,CEEA43,求AFFB.
【分析】燕子尾巴非常明显.
根据燕尾定理,,
,
所以,
所以.
【例3】如图在中,,求的值.
【分析】连接BG,设1份,根据燕尾定理,,得(份),(份),则(份),因此,同理连接AI、CH得,,
所以
[拓展]如右图,三角形ABC中,AFFBBDDCCEAE32,且三角形GHI的面积是1,求三角形ABC的面积.
[分析]连接BG,4份
得(份),(份),则(份),因此,
同理连接AI、CH得,,
三角形GHI的面积是1,所以三角形ABC的面积是19
【例4】如图,三角形ABC被分成6个三角形,己知其中4个三角形的面积,问三角形ABC的面积是多少?
【分析】设,,根据燕尾定理,得
即,,即,解得,
所以三角形ABC的面积是
【例5】三角形ABC的面积为15平方厘米,D为AB中点,E为AC中点,F为BC中点,求阴影部分的面积.
【分析】令BE与CD的交点为M,CD与EF的交点为N,连接AM,BN.
在中,根据燕尾定理,,,
由于S,所以
在中,根据燕尾定理,
设(份),则(份),(份),(份),
所以,,因为,F为BC中点,
所以,,
所以(平方厘米)
【例6】如右图,中,是的中点,、、是边上的四等分点,与交于,与交于,已知的面积比四边形的面积大平方厘米,则的面积是多少平方厘米?
【分析】连接、.
根据燕尾定理,,,所以;
再根据燕尾定理,,所以,所以,那么,所以.
根据题意,有,可得(平方厘米)
[拓展]如右图,三角形ABC的面积是1,BDDEEC,
CFFGGA,三角形ABC被分成9部分,请写出这9部分的面积各是多少?
[分析]设BG与AD交于点P,BG与AE交于点Q,BF与AD交于点M,BF与AE交于点N.连接CP,CQ,CM,CN.
根据燕尾定理,,,设(份),则(份),所以
同理可得,,,而,所以,.
同理,,所以,,,
【例7】已知四边形ABCD,CHFG为正方形,,a与b是两个正方形的边长,求
【分析】观察图形,感觉阴影部分像蝴蝶定理,但是细细分析发现用蝴蝶定理无法继续往下走,注意到题目条件中给出了两个正方形的边长,有边长就可以利用比例,再发现在连接辅助线后可以利用燕尾,那么我们就用燕尾定理来求解
连接EO、AF,
根据燕尾定理:
所以,作OM⊥AE、ON⊥EF,
∵AEEF
∴
求面积方法的综合运用
【例8】如图,在平行四边形中,,.求阴影面积与空白面积的比.
因为,,所以,.
因为,所以,
同理可得,,.
因为,所以空白部分的面积,
所以阴影部分的面积是.
,所以阴影面积与空白面积的比是.
连接CG、CH、AC,AC交BD于O,有
在中,根据燕尾定理可以得到,,所以,所以,
同理在中,根据燕尾定理可以得到,,
所以,
所以阴影面积与空白面积的比
【例9】如图,在一个梯形内有两个面积分别为10与12的三角形,已知梯形的上底长是下底长的,那么余下的阴影部分的面积是______.
【分析】设上底为2a,则下底为3a,梯形的高为,梯形的面积为
45,
所以阴影部分面积为
1.如图所示,在中,,是的中点,那么.
【分析】连接.
由于,,所以,
根据燕尾定理,.
2.三角形中,是直角,已知,,,,那么三角形(阴影部分)的面积为多少?
[分析]连接.
的面积为
根据燕尾定理,;
同理
设面积为1份,则的面积也是1份,所以的面积是份,而的面积就是份,也是4份,这样的面积为份,所以的面积为.
3.三角形ABC的面积是1平方厘米,且BE2EC,F是CD的中点.那么阴影部分的面积是平方厘米.
【分析】连接BF,根据燕尾定理,又因为F是CD的中点,所以,所以,即D是AB的中点,设(份),则(份),(份),(份),(份),
4.如图,线段AB与BC垂直,已知AD=EC=4,DB=BE=6,那么图中阴影部分面积是多少?
【分析】这个图是个对称图形,且各边长度已经给出,我们不妨连接这个图形的对称轴看看.
作辅助线BO,则图形关于BO对称,
设△ADO的面积为2份,则△DBO的面积为3份,直角三角形ABE的面积为8份.
因为,而阴影部分的面积为4份,
所以阴影部分的面积为
5.如图,中,,与平行,的面积是1平方厘米.那么的面积是平方厘米.
【分析】因为,,与平行,
所以,,,
则,又因为,
所以(平方厘米).
富乌鸦
树上落了一只嘴里衔着一大块东西的乌鸦。
许多追踪这个富有者的乌鸦立刻成群飞来。
它们全都落下来,一声不响,一动不动。
那只嘴里叼着东西的乌鸦已经很累了,很吃力地喘息着,不是吗,它不可能一下子就把这一大块东西吞下去呀。
它也不能飞下去,在地上从容不迫地把这块东西啄碎,乌鸦们会猛扑过去,于是就要开始一场通常所说的混战了。
它只好停在那儿,保卫嘴巴里的那块东西。
也许是因为嘴里叼着东西呼吸困难,也许是因为先前被大家追赶得精疲力竭——只见它摇晃了一下,突然失落了叼着的那块东西。
所有的乌鸦都猛扑上去,在这场混战中,一只非常机灵的乌鸦抢到了那块东西,立刻展翅飞去。
头一只被迫赶得精疲力竭的乌鸦也在跟着飞,但已明显地落在大家后面了。
结果是第二只乌鸦也像第一只一样,精疲力竭地落到一棵树上,最终也失落了那块东西。
于是又是一场混战,所有的乌鸦又去追赶那个幸运儿……
请看,富有的乌鸦的处境多么可怕,而这只是因为,它只为了它自己。
如果只想到自己的利益,而忽略了集体,不懂得互相合作、互相爱护,最终就会落到富乌鸦那样可怕的处境,从而危及自己的利益。
所以我们每个人做事情的时候,都应该多为别人着想。
这是我们在成长的过程中应该培养的品质。
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 奥数 六年级竞赛 几何直线形面积 燕尾定理教师版 六年级 竞赛 几何 线形 面积 燕尾 定理 教师版
![提示](https://static.bdocx.com/images/bang_tan.gif)