北邮研究生概率论与随机过程2012-2013试题及答案Word文件下载.doc
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(B)若,则;
(C)若,则;
(D)若,且,则.
2.设为一可测空间,为定义在其上的有限可加测度,则下面正确的是.c
(A)若,则;
(B)若,且,则;
(C)若,则;
(D)若,且,.
3.设为从概率空间到Borel可测空间上的实可测函数,表达式为,其中,则;
若已知,则.
4.设二维随机变量的概率密度
则=.2/3
5.设随机过程,其中随机变量服从参数为的指数分布,为常数,则
(1)的概率密度;
(2).
6.设是参数为的维纳过程,令,则相关函数.
7.设齐次马氏链的状态空间为,一步转移概率为
则
(1);
(2).1/2,2
二.概率题(共30分)
1.(10分)设的概率密度为
令,
(1)求的概率密度;
(2)求的边缘概率密度.
解解.
(1)解方程得
所以雅可比行列式,
故
……5分
(2)对,
故 ……10分
2.(10分)设的概率密度
(1)求,其中
(2).
解的边缘概率密度为
所以条件概率密度
……4分
(1)
……7分
(2)因为,所以。
……10分
3.(10分)设独立同分布,均服从两点分布,即,令,
(1)求Y的特征函数;
(2)求.
解:
(1)因为Y服从二项分布,所以Y的特征函数
……5分
(2)
……10分
三.随机过程题(共40分)
1.(10分)设是参数为的泊松过程,即满足:
(1)
(3)对.
也是参数为的泊松过程,且与独立,令,
(1)求;
(2)求.
解:
因为是参数为的泊松过程,所以
(1) ……5分
(2) ……10分
2.(10分)设是平稳过程,是其谱密度函数,
(1)证明:
对于任意的,是平稳过程;
(2)求的谱密度.
解
(1),
与无关,则是平稳过程。
……5分
. ……10分
3.(10分)设齐次马氏链的状态空间为,一步转移概率矩阵为
,
初始分布为,求
(1)和;
(2)的分布律.
解
(1)
……6分
(2) ……10分
4.(10分)齐次马氏链的状态空间为,一步转移概率矩阵为
确定该链的空间分解,状态分类,各状态的周期,并求平稳分布.
解.
(1)链可分,{1,3}{4}是不可分闭集,状态空间
……2分
(2)周期
. ……4分
(3)设平稳分布为,则
解之得,其中. ……7分
(4)所以1,3,4正返态,其余都不是常返态,又因为
,所以都为非常返态。
……10分
8
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