函数奇偶性的归纳总结Word文档格式.doc
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2、按奇偶性分类,函数可分为四类:
奇函数非偶函数、偶函数非奇函数、非奇非偶函数、亦奇亦偶函数.
3、奇偶函数的图象:
奇函数图象关于原点成中心对称的函数,偶函数图象关于y轴对称的函数。
4、函数奇偶性的性质:
①具有奇偶性的函数,其定义域关于原点对称(也就是说,函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称)。
②常用的结论:
若f(x)是奇函数,且x在0处有定义,则f(0)=0。
③奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性,则其单调性完全相同,最值相反。
奇函数f(x)在区间[a,b](0≤a<
b)上单调递增(减),则f(x)在区间[-b,-a]上也是单调递增(减);
偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性,则其单调性恰恰相反,最值相同。
偶函数f(x)在区间[a,b](0≤a<
b)上单调递增(减),则f(x)在区间[-b,-a]上单调递减(增)
④任意定义在R上的函数f(x)都可以唯一地表示成一个奇函数与一个偶函数的和。
⑤若函数g(x),f(x),f[g(x)]的定义域都是关于原点对称的,则u=g(x),y=f(u)都是奇函数时,y=f[g(x)]是奇函数;
u=g(x),y=f(u)都是偶函数,或者一奇一偶时,y=f[g(x)]是偶函数。
复合函数的奇偶性特点是:
“内偶则偶,内奇同外”.
5、判断函数奇偶性的方法:
⑴、定义法:
对于函数的定义域内任意一个x,都有〔或或〕函数f(x)是偶函数;
对于函数的定义域内任意一个x,都有〔或或函数f(x)是奇函数;
判断函数奇偶性的步骤:
①、判断定义域是否关于原点对称;
②、比较与的关系。
③、扣定义,下结论。
⑵、图象法:
图象关于原点成中心对称的函数是奇函数;
图象关于y轴对称的函数是偶函数。
,
⑶、运算法:
几个与函数奇偶性相关的结论:
①奇函数+奇函数=奇函数;
偶函数+偶函数=偶函数;
②奇函数×
奇函数=偶函数;
奇函数×
偶函数=奇函数。
③若为偶函数,则。
二、典例分析
1、给出函数解析式判断其奇偶性:
分析:
判断函数的奇偶性,先要求定义域,定义域不关于原点对称的是非奇非偶函数,若定义域关于原点对称,再看f(-x)与f(x)的关系.
【例1】判断下列函数的奇偶性:
(1).
(2).
解:
函数的定义域是,
∵,∴,
∴为偶函数。
(法2—图象法):
画出函数的图象如下:
由函数的图象可知,
为偶函数。
说明:
解答题要用定义法判断函数的奇偶性,选择题、填空题可用图象法判断函数的奇偶性。
(2).解:
由,得x∈(-∞,-3]∪(3,+∞).
∵定义域不关于原点对称,故是非奇非偶函数.
【例2】判断下列函数的奇偶性:
(1).
(2).(3).。
(1).由,解得
∴定义域为-2≤x<0或0<x≤2,则.
∴.
∴为奇函数.
对于给出函数解析式较复杂时,要在函数的定义域不变情况下,先将函数解析式变形化简,然后再进行判断。
(2).函数定义域为R,
∵,
∴,
∴函数为偶函数。
(3).由,解得,∴函数定义域为,
又∵,∴,
∴且,
所以既是奇函数又是偶函数。
【例3】判断下列函数的奇偶性:
(1).;
(2).
(1).定义域为R,∵,∴f(-x)=-f(x),所以f(x)为奇函数。
给出函数解析式判断其奇偶性,一般是直接找与关系,但当直接找与关系困难时,可用定义的变形式:
函数f(x)是偶函数;
函数f(x)是奇函数。
(2).函数的定义域为R,
当时,
综上可知,对于任意的实数x,都有,所以函数为奇函数。
分段函数判断奇偶性,必分段来判断,只有各段为同一结果时函数才有奇偶性。
分段函数判断奇偶性,也可用图象法。
2、抽象函数判断其奇偶性:
【例4】已知函数对任意的非零实数恒有判断函数的奇偶性。
函数的定义域为,
令,得,令,则
取,得
故函数为偶函数。
3、函数奇偶性的应用:
(1).求字母的值:
【例5】已知函数是奇函数,又,,求的值.
由得,∴。
又得,而得,
∴,解得。
又,∴或.
若,则,应舍去;
若,则b=1∈Z.
∴。
本题从函数的奇偶性入手,利用函数的思想(建立方程或不等式,组成混合组),使问题得解.有时也可用特殊值,如
f(-1)=-f
(1),得c=0。
(2).解不等式:
【例6】若f(x)是偶函数,当x∈[0,+∞)时,f(x)=x-1,求f(x-1)<0的解集。
偶函数的图象关于y轴对称,可先作出f(x)的图象,利用数形结合的方法.
画图可知f(x)<0的解集为
{x|-1<x<1},
∴f(x-1)<0的解集为{x|0<x<2}.
答案:
{x|0<x<2}
本题利用数形结合的方法解题较快、简捷.本题也可先求f(x)的表达式,再求f(x-1)的表达式,最后求不等式的解也可得到结果.
(3).求函数解析式:
【例7】已知f(x)是R上的奇函数,且x∈(-∞,0)时,f(x)=-xlg(2-x),求f(x).
先设x>0,求f(x)的表达式,再合并.
∵f(x)为奇函数,∴f(0)=0.
当x>0时,-x<0,f(-x)=xlg(2+x),即-f(x)=xlg(2+x),
∴f(x)=-xlg(2+x)
(x>0).
注意自变量在区间上的转化,分段函数的处理和分类讨论的思想紧密相连。
三、巩固训练:
一、选择题
1.若y=f(x)在x∈[0,+∞)上的表达式为y=x(1-x),且f(x)为奇函数,则x∈(-∞,0]时f(x)等于
A.-x(1-x)
B.x(1+x)C.-x(1+x)
D.x(x-1)
2.已知四个函数:
①,
②,③y=3x+3-x,④y=lg(3x+3-x).其中为奇函数的是
A.②④
B.①③C.①④
D.①②
3.已知y=f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x2-2x,则在R上f(x)的表达式为
A.-x(x-2)B.x(|x|-2)C.|x|(x-2)D.|x|(|x|-2)
二、填空题
4.已知f(x)=ax2+bx+3a+b是偶函数,且定义域为[a-1,2a],则a=_____________,b=____________.
5.若(x∈R且x≠0)为奇函数,则a=_______________.
6.已知f(x)=ax7-bx+2且f(-5)=17,则f(5)=_______________.
7.已知是定义在上的奇函数,当时,
的图像如右图所示,那么不等式的解集是_____________
三、解答题
8.已知且x=lnf(x),判定G(x)的奇偶性。
9.已知函数f(x)满足f(x+y)+f(x-y)=2f(x)·
f(y)(x、y∈R),且f(0)≠0,试证f(x)是偶函数.
10.设函数是偶函数,函数是奇函数,且,求和的解析表达式。
11.已知f(x)=x5+ax3-bx-8,f(-2)=10,求f
(2)。
12.已知都是定义在R上的奇函数,若在区间上的最大值为5,求在区间上的最小值。
13.已知是奇函数,在区间上单调递增,且有,求实数的取值范围。
四、巩固训练参考答案:
1.解析:
x∈(-∞,0],-x≥0,∴f(-x)=(-x)(1+x),-f(x)=-x(1+x).
∴f(x)=x(1+x).答案:
B
2.提示:
可运用定义,逐个验算.答案:
D
3.解析:
设x<0,则-x>0,
∵f(x)是奇函数,∴f(x)=-f(-x)=-[(-x)2-2(-x)]=-x2-2x.
∴,即f(x)=x(|x|-2),故答案:
B。
4.解析:
定义域关于原点对称,故a-1=-2a,,
又对于f(x)有f(-x)=f(x)恒成立,∴b=0.答案:
,0。
5.解析:
特值法:
∵f(-1)=-f
(1),,。
。
6.解析:
整体思想:
f(-5)=a(-5)7-
b(-5)+2=17(a·
57-5b)=-15,
∴f(5)=a·
57-b·
5+2=-15+2=-13.答案:
-13。
7.解析:
∵是定义在上的奇函数,∴补充其图像如图,又∵不等式同解于或,解得,或或,∴不等式的解集是,答案:
。
8.解:
由x=lnf(x)得f(x)=ex.
又,∴G(x)为奇函数。
9.证明:
令x=y=0,有f(0)+f(0)=2f2(0).∵f(0)≠0,∴f(0)=1.
令x=0,f(y)+f(-y)=2f(0)·
f(y)=2f(y).∴f(-y)=f(y).
∴f(x)是偶函数.
归纳:
赋值法(代入特殊值)在处理一般函数问题时经常用到.
10.解:
∵,∴,
又∵函数是偶函数,函数是奇函数,∴,,
∴上式化为,解组成的方程组得,。
11.分析:
问题的结构特征启发我们设法利用奇偶性来解
令g(x)=x5+ax3-bx,则g(x)是奇函数,所以g(-2)=g
(2),
于是f(-2)=g(-2)-8, ∴g(-2)=18. 所以f
(2)=g
(2)-8=-g(-2)-8=-26.
12.解:
设,则为奇函数,
因为当时,所以
所以当时,即
故在区间上的最小值为-1。
13.解:
因为函数是奇函数,所以
由得,即
又在区间上单调递增,故得,解得
所以实数的取值范围为
注意:
利用函数的奇偶性、单调性求变量的范围,是函数奇偶性及单调性的逆用,培养逆向思维能力,判断出是解决本题的关键。
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