高中数学求数列通项的常用方法文档格式.docx
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解:
两边除以,得,则,故数列是以为首项,以为公差的等差数列,由等差数列的通项公式,得,所以数列的通项公式为。
评注:
本题解题的关键是把递推关系式转化为,说明数列是等差数列,再直接利用等差数列的通项公式求出,进而求出数列的通项公式。
二、累加法例2已知数列满足,求数列的通项公式。
由得则所以数列的通项公式为。
本题解题的关键是把递推关系式转化为,进而求出,即得数列的通项公式。
例3已知数列满足,求数列的通项公式。
由得则所以评注:
例4已知数列满足,求数列的通项公式。
两边除以,得,则,故因此,则评注:
本题解题的关键是把递推关系式转化为,进而求出,即得数列的通项公式,最后再求数列的通项公式。
三、累乘法例5已知数列满足,求数列的通项公式。
因为,所以,则,故所以数列的通项公式为评注:
本题解题的关键是把递推关系转化为,进而求出,即得数列的通项公式。
例6已知数列满足,求的通项公式。
因为所以用式式得则故所以由,则,又知,则,代入得。
所以,的通项公式为评注:
本题解题的关键是把递推关系式转化为,进而求出,从而可得当的表达式,最后再求出数列的通项公式。
四、待定系数法例7已知数列满足,求数列的通项公式。
设将代入式,得,等式两边消去,得,两边除以,得代入式得由及式得,则,则数列是以为首项,以2为公比的等比数列,则,故。
本题解题的关键是把递推关系式转化为,从而可知数列是等比数列,进而求出数列的通项公式,最后再求出数列的通项公式。
例8已知数列满足,求数列的通项公式。
设将代入式,得整理得。
令,则,代入式得由及式,得,则,故数列是以为首项,以3为公比的等比数列,因此,则。
本题解题的关键是把递推关系式转化为,从而可知数列是等比数列,进而求出数列的通项公式,最后再求数列的通项公式。
例9已知数列满足,求数列的通项公式。
设将代入式,得,则等式两边消去,得,解方程组,则,代入式,得由及式,得则,故数列为以为首项,以2为公比的等比数列,因此,则。
五、对数变换法例10已知数列满足,求数列的通项公式。
因为,所以。
在式两边取常用对数得设将式代入式,得,两边消去并整理,得,则,故代入式,得由及式,得,则,所以数列是以为首项,以5为公比的等比数列,则,因此则。
本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式转化为,从而可知数列是等比数列,进而求出数列的通项公式,最后再求出数列的通项公式。
六、迭代法例11已知数列满足,求数列的通项公式。
因为,所以又,所以数列的通项公式为。
本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。
即先将等式两边取常用对数得,即,再由累乘法可推知,从而。
七、数学归纳法例12已知数列满足,求数列的通项公式。
由及,得由此可猜测,往下用数学归纳法证明这个结论。
(1)当时,所以等式成立。
(2)假设当时等式成立,即,则当时,由此可知,当时等式也成立。
根据
(1),
(2)可知,等式对任何都成立。
本题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前n项,进而猜出数列的通项公式,最后再用数学归纳法加以证明。
八、换元法例13已知数列满足,求数列的通项公式。
令,则故,代入得即因为,故则,即,可化为,所以是以为首项,以为公比的等比数列,因此,则,即,得。
本题解题的关键是通过将的换元为,使得所给递推关系式转化形式,从而可知数列为等比数列,进而求出数列的通项公式,最后再求出数列的通项公式。
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