上海交通大学线性代数期末考试题0708-1线代(B)-A卷Word文件下载.doc
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d.。
3.n维向量线性无关的充要条件是()
a.存在不全为零的数,使;
b.中任意两个向量都线性无关;
c.中任意一个向量都不能用其余向量线性表示;
d.中存在一个向量,它不能用其余向量线性表示。
4.设是正定矩阵,则以下矩阵中,一定是正定矩阵为(其中为任意常数)()
b.;
c.;
d.。
5.已知矩阵,伴随矩阵,且有非零解,则()
b.或;
c.;
d.且。
6.设是非齐次线性方程组的两个不同的解,则以下选项中一定是对应
特征值的特征向量为()
b.;
c.;
d.。
二填空题(每题3分,共18分)
7.设行列式,是中元素的代数余子式,则=。
8.设是实对称可逆矩阵,则将化为的线性变换为____________________。
9.设矩阵有特征值6,2,2,且能相似于对角阵,则=___________。
10.已知是维实列向量,矩阵,为非零常数,则为正交矩阵的充分必要
条件为。
11.设,,其中互不相同,,
则线性方程组的解是___________。
12.若实二次型为正定二次型,
则的取值范围为。
三计算题(每题8分,共48分)
13.计算阶行列式:
。
14.已知线性方程组,
(1)试问:
常数取何值时,方程组有无穷多解、唯一解、无解?
(2)当方程组有无穷多解时,求出其通解。
15.设,,已知线性方程组有解但不唯一。
试求:
(1)的值;
(2)正交矩阵为对角矩阵。
16.设矩阵的伴随矩阵,且。
求矩阵。
17.已知线性空间的基到基的过渡矩阵为,且
,,;
(1)基;
(2)在基下有相同坐标的全体向量。
18.设为三阶实对称矩阵,且满足已知对应特征值的特征向量有
。
试求:
矩阵,。
其中为自然数。
四证明题(每题8分,共16分)
19.设为阶矩阵,已知秩。
试证:
(1)线性方程组同解;
(2)。
20.设是维非零实向量,,为使得的任意常数。
以下结论若正确,请证明;
若不正确,请举出反例。
(1)若与正交,且与也正交,则与正交。
(2)若与线性无关,且与也线性无关,则与线性无关。
参考答案(线代)
一选择题bdcadb
二填空题7.-11;
8.;
9.;
10.;
11.;
12.。
三计算题
13.。
14.
(1)
无穷多解;
唯一解;
无解(4分)
(2)(8分)
15.解:
(1)方程组有解但不唯一,所以,故。
(2分)
(2)特征值为,,。
(4分)
,。
(8分)
16.由,有,得。
(2分)
用,左右乘方程的两端,得(4分)
(8分)
17.
(1)设,,则,故
,,;
(2分)
(2)设所求向量的坐标为,则,即,
因为为可逆矩阵,得,由(4分)
得,(6分)
故(8分)
18.,特征值1、1、-2,(2分)
,特征向量,(4分)
(6分)
(8分)
四证明题
19.证:
(1)因为,所以的解都是的解,又,
故它们的解空间相同,因此它们同解。
(2),所以的解都是的解。
反之,
若存在,使,但。
则由
,知是的解;
,知不是的解。
与
(1)的结论矛盾。
故同解,。
故。
20.证:
(1)因为,所以成立。
(2)不成立。
如,,,。
A卷第8页共6页
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