长方形椅子能否在不平的地面上放稳吗Word文件下载.doc
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日常生活中有这样的现象:
把椅子往不平的地面上一放,通常只有三只脚着地,放不稳,然而只需稍微挪动几次,一般都可以使四只脚同时着地.试从数学的角度加以解释.
【模型假设】
为了明确问题,对上述现象中的有关因素在符合日常生活的前提下,作出如下假设:
(1)椅子四条腿一样长,椅脚与地面接触处视为一点,四脚的连线呈长方形.
(2)地面高度是连续变化的,沿任何方向都不会出现间断(没有像台阶那样的情况),即从数学的角度看,地面是连续曲面.这个假设相当于给出了椅子能放稳的必要条件.
(3)椅子在任何位置至少有三只脚同时着地.为保证这一点,要求对于椅脚的间距和椅腿的长度而言,地面是相对平坦的.因为在地面上与椅脚间距和椅腿长度的尺寸大小相当的范围内,如果出现深沟或凸峰(即使是连续变化的),此时三只脚是无法同时着地的.
【建立模型】
在上述假设下,解决问题的关键在于选择合适的变量,把椅子四只脚同时着地表示出来.
首先,引入合适的变量来表示椅子位置的挪动.生活经验告诉我们,要把椅子通过挪动放稳,通常有拖动或转动椅子两种办法,也就是数学上所说的平移与旋转变换.然而,平移椅子后问题的条件没有发生本质变化,所以用平移的办法是不能解决问题的.于是可尝试将椅子就地旋转,并试图在旋转过程中找到一种椅子能放稳的情形.
注意到椅脚连线呈长方形,长方形是中心对称图形,绕它的对称中心旋转180度后,椅子仍在原地.把长方形绕它的对称中心O旋转,这可以表示椅子位置的改变。
于是,旋转角度θ这一变量就表示了椅子的位置.为此,在平面上建立直角坐标系来解决问题.
如下图所示,设椅脚连线为长方形ABCD,以对角线AC所在的直线为x轴,对称中心O为原点,建立平面直角坐标系.椅子绕O点沿逆时针方向旋转角度θ后,长方形ABCD转至A1B1C1D1的位置,这样就可以用旋转角θ(0≤θ≤π)表示出椅子绕点O旋转θ后的位置.
其次,把椅脚是否着地用数学形式表示出来.
我们知道,当椅脚与地面的竖直距离为零时,椅脚就着地了,而当这个距离大于零时,椅脚不着地.由于椅子在不同的位置是θ的函数,因此,椅脚与地面的竖直距离也是θ的函数.
由于椅子有四只脚,因而椅脚与地面的竖直距离有四个,它们都是θ的函数.而由假设(3)可知,椅子在任何位置至少有三只脚同时着地,即这四个函数对于任意的θ,其函数值至少有三个同时为0.因此,只需引入两个距离函数即可.考虑到长方形ABCD是中心对称图形,绕其对称中心O沿逆时针方向旋转180°
后,长方形位置不变,但A,C和B,D对换了.因此,记
A、B两脚与地面竖直距离之和为f(θ),C、D两脚与地面竖直距离之和为g(θ),其中θ∈[0,π],从而将原问题数学化。
数学模型:
已知f(θ)和g(θ)是θ的非负连续函数,对任意θ,f(θ)•g(θ)=0,证明:
存在θ0∈[0,π],使得f(θ0)=g(θ0)=0成立。
【求解模型】
如果f(0)=g(0)=0,那么结论成立。
如果f(0)与g(0)不同时为零,不妨设f(0)>0,g(0)=0。
这时,将长方形ABCD绕点O逆时针旋转角度π后,点A,B分别与C,D互换,但长方形ABCD在地面上所处的位置不变,由此可知,f(π)=g(0),g(π)=f(0).而由f(0)>0,g(0)=0,得g(π)>0,f(π)=0。
令h(θ)=f(θ)-g(θ),由f(θ)和g(θ)的连续性知h(θ)也是连续函数。
又h(0)=f(0)-g(0)>0,h(π)=f(π)-g(π)<0,,根据连续函数介值定理,必存在θ0∈(0,π)使得h(θ0)=0,即f(θ0)=g(θ0);
又因为f(θ0)•g(θ0)=0,所以f(θ0)=g(θ0)=0。
于是,椅子的四只脚同时着地,放稳了。
【评注】
用函数的观点来解决问题,引入合适的函数是关键.本模型的巧妙之处就在于用变量θ表示椅子的位置,用θ的两个函数表示椅子四只脚与地面的竖直距离.运用这个模型,不但可以确信椅子能在不平的地面上放稳,而且可以指导我们如何通过旋转将地面上放不稳的椅子放稳.
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