高数考研习题及答案Word文档格式.doc

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（1）

（2）

由

（1）:

由

（2）:

7.=______.

8.已知（¹

0¹

¥

）,则A=______,k=_______.

所以k－1=1990,k=1991;

二.选择题

1.设f（x）和j（x）在（－¥

+¥

）内有定义,f（x）为连续函数,且f（x）¹

0,j（x）有间断点,则

（a）j[f（x）]必有间断点（b）[j（x）]2必有间断点（c）f[j（x）]必有间断点（d）必有间断点

解.（a）反例,f（x）=1,则j[f（x）]=1

（b）反例,[j（x）]2=1

（c）反例,f（x）=1,则f[j（x）]=1

（d）反设g（x）=在（－¥

）内连续,则j（x）=g（x）f（x）在（－¥

）内连续,矛盾.所以（d）是答案.

2.设函数,则f（x）是

（a）偶函数（b）无界函数（c）周期函数（d）单调函数

解.（b）是答案.

3.函数在下列哪个区间内有界

（a）（－1,0）（b）（0,1）（c）（1,2）（d）（2,3）

所以在（－1,0）中有界,（a）为答案.

4.当的极限

（a）等于2（b）等于0（c）为（d）不存在,但不为

解..（d）为答案.

5.极限的值是

（a）0（b）1（c）2（d）不存在

=,所以（b）为答案.

6.设,则a的值为

（a）1（b）2（c）（d）均不对

解.8==

=,,所以（c）为答案.

7.设,则a,b的数值为

（a）a=1,b=（b）a=5,b=（c）a=5,b=（d）均不对

解.（c）为答案.

8.设,则当x®

0时

（a）f（x）是x的等价无穷小（b）f（x）是x的同阶但非等价无穷小

（c）f（x）比x较低价无穷小（d）f（x）比x较高价无穷小

解.=,所以（b）为答案.

9.设,则a的值为

（a）－1（b）1（c）2（d）3

解.,1+a=0,a=－1,所以（a）为答案.

10.设,则必有

（a）b=4d（b）b=－4d（c）a=4c（d）a=－4c

解.2==,所以a=－4c,所以（d）为答案.

三.计算题

1.求下列极限

（1）

（2）

解.令

=

（3）

=

==.

2.求下列极限

解.当x®

1时,,.按照等价无穷小代换

解.方法1：

==

==

=

方法2：

3.求下列极限

解.

解.

（3）,其中a>

0,b>

0

4.设

试讨论在处的连续性与可导性.

所以,在处连续可导.

5.求下列函数的间断点并判别类型

所以x=0为第一类间断点.

（2）

解.f（+0）=－sin1,f（－0）=0.所以x=0为第一类跳跃间断点;

不存在.所以x=1为第二类间断点;

不存在,而,所以x=0为第一类可去间断点;

（k=1,2,…）所以x=为第二类无穷间断点.

6.讨论函数在x=0处的连续性.

解.当时不存在,所以x=0为第二类间断点;

当,,所以

时,在x=0连续,时,x=0为第一类跳跃间断点.

7.设f（x）在[a,b]上连续,且a<

x1<

x2<

…<

xn<

b,ci（I=1,2,3,…,n）为任意正数,

则在（a,b）内至少存在一个x,使.

证明:

令M=,m=

所以m£

£

M

所以存在x（a<

x1£

x£

b）,使得

8.设f（x）在[a,b]上连续,且f（a）<

a,f（b）>

b,试证在（a,b）内至少存在一个x,使f（x）=x.

假设F（x）=f（x）－x,则F（a）=f（a）－a<

0,F（b）=f（b）－b>

于是由介值定理在（a,b）内至少存在一个x,使f（x）=x.

9.设f（x）在[0,1]上连续,且0£

f（x）£

1,试证在[0,1]内至少存在一个x,使f（x）=x.

（反证法）反设.所以恒大于0或恒小于0.不妨设.令,则.

因此.于是,矛盾.所以在[0,1]内至少存在一个x,使f（x）=x.

10.设f（x）,g（x）在[a,b]上连续,且f（a）<

g（a）,f（b）>

g（b）,试证在（a,b）内至少存在一个x,使

f（x）=g（x）.

假设F（x）=f（x）－g（x）,则F（a）=f（a）－g（a）<

0,F（b）=f（b）－g（b）>

11.证明方程x5－3x－2=0在（1,2）内至少有一个实根.

令F（x）=x5－3x－2,则F

（1）=－4<

0,F

（2）=24>

所以在（1,2）内至少有一个x,满足F（x）=0.

12.设f（x）在x=0的某领域内二阶可导,且,求及.

解..所以

.f（x）在x=0的某领域内二阶可导,所以在x=0连续.所以f（0）=－3.因为

所以,所以

由,将f（x）台劳展开,得

所以,于是

.

（本题为2005年教材中的习题,2008年教材中没有选入.笔者认为该题很好,故在题解中加入此题）

第二章导数与微分

1.设,则k=________.

解.,所以

所以

2.设函数y=y（x）由方程确定,则______.

3.已知f（－x）=－f（x）,且,则______.

解.由f（－x）=－f（x）得,所以

所以

4.设f（x）可导,则_______.

=+=

5.,则=_______.

解.,假设,则

所以

6.已知,则_______.

解.,所以.令x2=2,所以

7.设f为可导函数,,则_______.

8.设y=f（x）由方程所确定,则曲线y=f（x）在点（0,1）处的法线方程为_______.

解.上式二边求导.所以切线斜率

.法线斜率为,法线方程为

即x－2y+2=0.

1.已知函数f（x）具有任意阶导数,且,则当n为大于2的正整数时,f（x）的n阶导数是

（a）（b）（c）（d）

解.,假设=,所以

=,按数学归纳法

=对一切正整数成立.（a）是答案.

2.设函数对任意x均满足f（1+x）=af（x）,且b,其中a,b为非零常数,则

（a）f（x）在x=1处不可导（b）f（x）在x=1处可导,且a

（c）f（x）在x=1处可导,且b（d）f（x）在x=1处可导,且ab

解.b==,所以ab.（d）是答案

注:

因为没有假设可导,不能对于二边求导.

3.设,则使存在的最高阶导数n为

（a）0（b）1（c）2（d）3

解..

所以n=2,（c）是答案.

4.设函数y=f（x）在点x0处可导,当自变量x由x0增加到x0+Dx时,记Dy为f（x）的增量,dy为f（x）的微分,等于

（a）－1（b）0（c）1（d）¥

解.由微分定义Dy=dy+o（Dx）,所以.（b）是答案.

5.设在x=0处可导,则

（a）a=1,b=0（b）a=0,b为任意常数（c）a=0,b=0（d）a=1,b为任意常数

解.在x=0处可导一定在x=0处连续,所以

所以b=0.

,所以0=a.（c）是答案.

1.

2.已知f（u）可导,

=

3.已知,求.

4.设y为x的函数是由方程确定的,求.

四.已知当x£

0时,f（x）有定义且二阶可导,问a,b,c为何值时

二阶可导.

解.F（x）连续,所以,所以c=f（－0）=f（0）;

因为F（x）二阶可导,所以连续,所以b=,且

存在,所以,所以

所以

五.已知.

k=0,1,2,…

六.设,求.

解.使用莱布尼兹高阶导数公式

=

第三章一元函数积分学（不定积分）

一.求下列不定积分:

2.

3.

4.

解.方法一:

令,

=

方法二:

==

5．