第十六章多元函数的极限与连续习题课Word下载.doc
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,,当,,就有
,,当,就有.
7.叙述在上一致连续的定义.
在上一致连续只要,就有
8.叙述在上不一致连续的定义.
在上不一致连续尽管,但有
二疑难问题与注意事项
1.表示空心邻域吗?
答:
不是.只是去掉一点,而是去掉了两条线段,,.
2.的界点是的聚点吗?
不一定,的界点还可能是的孤立点.
3.的聚点一定属于吗?
不一定,例如,,满足的一切点也是的聚点,但它们都不属于.
注的内点,孤立点一定属于,的聚点,界点可能属于,也可能不属于,的外点一定不属于.
4.区域上每一点都是聚点吗?
答区域上每一点都是聚点,因为区域是连通的开集,既然连通,就能保证,区域上每一点的邻域有无穷多个点.
5.,,之间有什么关系?
6.用方形邻域证明的思路是什么?
证明怎么证呢?
------关键也是找.
(用方形邻域的思路当,,,有.)
当,有,把化简为下述形式:
(注意一定要出现,).然后将适当放大,有时先要限定,,估算得,则(最综化简到这个形式);
,要使,只要,即要,取,于是当,,,有.
7.证明判断二元函数在时二重极限不存在?
1)当动点沿着直线而趋于定点时,若值与有关,则二重极限不存在.
2)令,,与有关,则二重极限不存在.
注意若与无关,则二重极限存在.
3)找自变量的两种变化趋势,使两种方式下极限不同.
4)证明两个累次极限存在但不相等.
8.当动点沿着直线而趋于定点时,若值与无关,能说明二重极限存在吗?
不能,因为所谓二元函数存在极限,是指以任何方式趋于时,函数都无限接近于同一个常数,动点沿着直线而趋于定点这只是一种方式,还有其它方式.
9.计算二元函数极限有哪些方法?
1)利用有界函数与无穷小的乘积是无穷小;
例求.
解因为,而,利用有界函数与无穷小的乘积是无穷小,即知
2)利用变量替换化为已知极限或化为一元函数的极限;
例.
解利用变量替换.令,当时,有,因此
3)利用极坐标变换.令,,如果沿径向路径关于一致成立,则;
解利用极坐标变换.令,,当时,有,因此
4)利用不等式,使用夹逼准则.
例
解因为,而
因此.
5)初等变形求极限,如极限,凑,.
例
解.
10.重极限与累次极限有什么关系?
(1)重极限与累次极限没有必然的蕴含关系(除了若两个累次极限存在但不相等能推重极限存在);
(2)若两个重极限与累次极限都存在时,则三者相等;
(3)若重极限和其中一个累次极限存在时则这两者相等,另一个累次极限可能存在可能不存在.
(4)两个累次极限可能都存在,可能都不存在,可能一个存在一个不存在,都存在时可能相等,也可能不相等.
11.二元函数在连续,与一元函数在连续,一元函数在连续有什么关系?
答
反例二元函数在原点处显然不连续.但由
因此在原点处对和对分别都连续.
三典型例题
1.求下列平面点集的内点、边界点、聚点、孤立点形成的集合.
(1);
(2);
(3);
(4).
解:
(1)的内点集合是,
边界点集合是,
聚点集合是.
没有孤立点.
(2)没有内点,(因为中任意一点的邻域既含有有理数,也含有无理数);
边界点集合是.聚点集合是,没有孤立点.
(3)没有内点,(因为中任意一点的空心邻域当距离很小时,不含整数点)
边界点集合是,没有聚点,孤立点集合是.
(4)没有内点,聚点是,没有孤立点,界点是.
2.证明.
证:
()由于,即对,,当时
有,因此有
,
即.
()由于,即对,,当时有,,
从而有
即.
3.
(1)举出两个累次极限存在,但不相等的例子.
(2)举出两个累次极限存在,且相等的例子.
(3)举出两个累次极限一个存在一个不存在的例子.
(4)举出两个累次极限都不存在的例子.
解:
(1)例如在点的两个累次极限存在,但不相等.
,.
(2)例如在点的两个累次极限存在,且相等.
(3)例如在点只有一个累次极限存在.
不存在,.
(4)例如在点两个累次极限都不存在.
注两个累次极限可能都存在,可能都不存在,可能一个存在一个不存在,都存在时可能相等,也可能不相等.
4.试作函数,使当,时
(1)两个累次极限存在而重极限不存在;
(2)两个累次极限不存在而重极限存在;
(3)重极限与累次极限都不存在;
(4)重极限与一个累次极限存在,另一个累次极限不存在.
解
(1),两个累次极限存在(见上题),但
,
因为与有关系,因此重极限不存在.
(2),在点两个累次极限都不存在,但重极限存在
(3),在点的两个累次极限,重极限都不存在.
(4)或.
变形:
当,时,有,,
(1);
(2);
(3);
(4).
5.讨论二元函数在点的连续性.
解令,,
当,根据无穷小量乘有界量为无穷小量知,因此在点连续;
当,由极限值与有关,二重极限不存在,因此在点不连续;
当,由不存在,则二重极限不存在,因此在点不连续.
6.设定义在闭矩形域若对在上处处连续,对在(且关于)为一致连续.证明在上处处连续.
分析:
要证在上处处连续,只要证,在连续,即证,
,当,,就有,因为条件中有一元函数连续,因此要出现偏增量,即证,,当,,
(因为条件是对在上处处连续,对在(且关于)为一致连续,因此插入.
证明:
因为对在上处处连续,则在连续,于是,,
当,就有.
因为对在(且关于)为一致连续,则有,,当(对任意
就有.
因此,,当,,就有
.
7.设,,且在附近有
证明.
分析:
要证,只要证当,,,有.而与有关系,因此就要插入,即证
证由得,当,有.
由得,当,有.因为在附近有,于是当,有
因此当,有
因此.
8.在上一致连续的充要条件是:
对中的每一对点列如果,便有.
证必要性在上一致连续只要,就有
对上述,,因此
即.
充分性反证法,设在上不一致连续尽管,但有
则取总有相应的,虽然,但是
即,,矛盾.因此在上一致连续.
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