幂级数测试题Word格式.docx
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(B)
(C)
(D)
4.假设幂级数的收敛半径为R,那么
(A),
(C),
(D)不一定存在.
5.如果能展开成
的幂级数,那么该幂级数
是
的麦克劳林级数;
(B)不一定是
(C)不是
是在点处的泰勒级数。
6.
如果,那么幂级数
(A)当时,收敛;
当时,收敛;
当时,发散;
当时,发散
7..设级数在
处是收敛的,那么此级数在处
(A)发散;
(B)绝对收敛;
(C)条件收敛;
(D)不能确定敛散性。
8幂级数在其收敛区间的两个端点处
A
全是发散的.
B.
全是收敛的
C.
左端点发散,
右端点收敛.
D
左端点收敛,
右端点发散
9.
函数展开成的幂级数的方法是
.
10.
幂级数的收敛域为
答案:
1—10
DDBDA
ADDDA
填空题:
1.
假设幂级数在内收敛,
那么应满足__________.
2.
设幂级数的收敛半径为2,
那么级数的收敛区间
为__________.
3.级数的和函数为_________.
4.
设是一等差数列
那么幂级数收敛
域是__________.
5.
与有相同的___________.
的幂级数展开式_________________.
7.
幂级数只有在___________区间内才有和函数.
8.
经过逐项微分或逐项积分后幂级数___________不变.
的幂级数表达式____________.
级数
在区间_________收敛.
答案:
.
4.(-1,1)
收敛区间.
收敛.
收敛半径.
计算题
求幂级数的收敛域及和函数.
3.
求幂级数的收敛半径与收敛域
(1)
将函数展开为的幂级数,
并指出收敛域.
求函数在x=1处泰勒展开式.
设幂级数
当
时有
且
求该幂级数的函数.
将展成
x的幂级数.
求幂级数的和函数.
试求幂级数的收敛区域及和函数
设,确定的连续区间,并求积分的值
解
因
且当时级数都发散,
故该级数的收敛域
为
(-1,1),
令
那么
解:
收敛半径,
当时,
原级数发散,
故原级数的收敛域为
(-1,1).
设其和函数为,
3.
(1)
记
由于
故
收敛半径R=1,
收敛区间为
(-1,1)
由于,
故级数发散,
所以该级数的收敛域为
(-1,1).
(2)
因为
所以收敛半径R=1,
收敛域为
[-1,1].
而
而级数与的收敛域都是
[-1,1],
故当
时
因
设和函数
那么
即
解上述关于的二阶微分方程,
得
易看出
而
两边求导,
级数的和函数为
由于级数在上收敛,
所以当时,有
因为幂级数的收敛域是,所以
在上的连续,
且可逐项积分。
证明题:
设
在内收敛,
假设也收敛,
设f为幂级数在
(-R,R)
上的和函数,
假设f为奇函数,
那么原级数仅出现奇次幂的项,
假设f
为偶函数,
那么原级数仅出现偶次幂的项.
设函数定义在
[0,1]上,
证明它在
(0,1)
满足下述方程:
证明当
时,
收敛.
设幂级数,的收敛半径分别为,设,证明:
当时,幂级数绝对收敛。
设,求证:
其中
设,,。
证明:
当时,满足方程。
假设幂级数的收敛半径为R(>
0),
且在(或时收敛,
那么级数在[0,R](
或
[-R,0])上一致收敛.
设函数在区间内的各阶导数一致有界,即存在正数M,
对一切,
有,
证明:
对内任一点与有
满足方程.
因为当
收敛,
有
又当时,
从而可知
在左连续,于是.
当为奇函数时,
从而
这时必有
当为偶函数时,
此式当且仅当.
3.证明:
所以
.0<
x<
1.
因为
取极限得到
从而级数的收敛半径
级数收敛.
对于任意
,由于,
所以,绝对收敛。
又
所以绝对收敛。
,
从而
由于
,幂级数的收敛半径是1,
所以当时,可微,
故
即满足方程。
设级数在时收敛,
对于有
=
级数收敛,
函数列在上递减且一致有界,
即
由阿贝耳判别法知,
级数在上一致收敛.
证:
对
10.证:
因幂级数的收敛区间为,
它可以在内逐项微分任意次,
将代入有
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