第五章线性方程组习题解答Word格式.doc
- 文档编号:14629050
- 上传时间:2022-10-23
- 格式:DOC
- 页数:32
- 大小:1.87MB
第五章线性方程组习题解答Word格式.doc
《第五章线性方程组习题解答Word格式.doc》由会员分享,可在线阅读,更多相关《第五章线性方程组习题解答Word格式.doc(32页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
(1)齐次线性方程组解的情况是.
(A)无解;
(B)仅有零解;
(C)必有非零解;
(D)可能有非零解,也可能没有非零解.
答(C).
(2)设元齐次线性方程组的系数矩阵的秩,且为此方程组的三个线性无关的解,则此方程组的基础解系是.
(A);
(B);
(C);
(D).
答(A).
(3)要使,都是线性方程组的解,只要为.
(B);
(D).
(4)已知是的两个不同的解,是相应的齐次方程组的基础解系,为任意常数,则的通解是.
(B);
(D).
答(B).
(5)设阶矩阵的伴随矩阵若是非齐次线性方程组的互不相等的解,则对应的齐次线性方程组的基础解系是.
(A)不存在;
(B)仅含一个非零解向量;
(C)含有两个线性无关的解向量;
(D)含有三个线性无关的解向量.
(6)设有齐次线性方程组和,其中,均为矩阵,现有4个命题:
①若的解均是的解,则;
②若,则的解均是的解;
③若与同解,则;
④若,则与同解.
以上命题正确的是.
(A)①,②;
(B)①,③;
(C)②,④;
(D)③,④.
(7)设是矩阵,是矩阵,则线性方程组.
(A)当时仅有零解;
(B)当时必有非零解;
(C)当时仅有零解;
(D)当时必有非零解.
答(D).
(8)设是阶矩阵,是维列向量.若秩秩,则线性方程组.
(A)必有无穷多解;
(B)必有惟一解;
(C)仅有零解;
(D)必有非零解.
3.求下列齐次线性方程组的一个基础解系
(1)
解对系数矩阵施行初等行变换,有
与原方程组同解的方程组为
或写为
其中为任意常数.所以,基础解系为
(2)
解
其中,可取任意常数,故
所以,基础解系为
(3)
,方程组组只有零解.
(4)
故
所以基础解系为
4.求解下列非齐次线性方程组.
解对增广矩阵施行初等行变换
所以.无解.
,所以原方程组有解.与原方程组同解的方程组为
(3)
,原方程组有解.与原方程组同解的方程组为
所以原方程组的通解为
(4)
故通解为
5.问取何值时,非齐次线性方程组
(1)有惟一解;
(2)无解;
(3)有无穷个解?
解系数行列式
当且时,方程组有惟一解.
当时,对增广矩阵施行初等行变换
则,故原方程组有解且有无穷多解.
.所以方程组无解.
6.非齐次线性方程组
当取何值时有解?
并求出它的全部解.
解对增广矩阵施行初等行变换,得
当且时,方程组无解.
当时,有
,方程组有解,且与原方程组同解的方程组为
故原方程组的解为
故方程组的解为
7.设问为何值时,此方程组有惟一解、无解或有无穷多解?
并在有无穷多解时求出其通解.
,方程组有无穷多解,此时
通解为
,故方程组无解.
8.问为何值时,非齐次线性方程组
(1)有惟一解,求出惟一解;
(2)无解;
(3)有无穷多解,并写出通解.
解方程组的增广矩阵
当时,,方程组有惟一解.此时
所以,.
所以,当且时,,,方程组无解.
而当且时,有
故原方程组的通解为
其中为任意实数.
9.设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为,已知是它的三个解向量,且
求该方程组的通解.
解,所以,令
则为基础解系,故方程组的通解为
其中可取任意常数.
10.设都是阶方阵,且.证明
证明设,则有
可见每个都是的解向量.因,可知的解空间的维数是,所以向量组的秩小于等于,从而,于是.
11.已知非齐次线性方程组
有3个线性无关的解.
(1)证明方程组的系数矩阵的秩;
(2)求的值及方程组的通解.
解
(1)设是方程组的3个线性无关的解,其中
则有,即是对应齐次线性方程组的解,且线性无关.(否则,易推出线性相关,矛盾).
所以,即.又矩阵中有一个2阶子式,所以.因此.
(2)因为
又,则
对原方程组的增广矩阵施行初等行变换,
故原方程组与下面的方程组同解
选为自由变量,则
故所求通解为
,为任意常数.
12.已知三阶矩阵的第一行是,不全为零,矩阵(为常数),且,求线性方程组的通解.
解由于,故,又由不全为零,可知.
当时,,于是;
当时,,于是或.
①对于,由可得
和.
由于线性无关,故为的一个基础解系,于是的通解为,其中为任意常数.
②对于,分别就和进行讨论.
如果,则的基础解系由一个向量构成.又因为,所以的通解为,其中为任意常数.
如果,则的基础解系由两个向量构成.又因为的第行是,且不全为零,所以等价于.不妨设,是的两个线性无关的解,故的通解为,其中为任意常数.
13.确定常数,使向量组可由向量组,,线性表示,但向量组不能由向量组线性表示.
解对矩阵作初等行变换,有
=
,
当时,
显然不能由线性表示,因此;
显然均不能由线性表示,因此.
而当且时,秩,此时向量组可由向量组线性表示.又
由题设向量组不能由向量组线性表示,必有或,即或.
综上所述,满足题设条件的只能是.
14.已知齐次线性方程组
(Ⅰ)(Ⅱ)
同解,求的值.
解方程组(Ⅱ)的未知量个数大于方程个数,故方程组(Ⅱ)有无穷多解.因为方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)同解,所以方程组(Ⅰ)的系数矩阵的秩小于3.
对方程组(Ⅰ)的系数矩阵施以初等行变换
从而.此时,方程组(Ⅰ)的系数矩阵可化为
故是方程组(Ⅰ)的一个基础解系.
将代入方程组(Ⅱ)可得
或
当时,对方程组(Ⅱ)的系数矩阵施以初等行变换,有
显然此时方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)同解.
显然此时方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)的解不相同.
综上所述,当时,方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)同解.
15.设有齐次线性方程组
试问取何值时,该方程组有非零解,并求出其通解.
解对方程组的系数矩阵作初等行变换,有
当时,,故方程组有非零解,其同解方程组为
由此得基础解系为
于是方程组的通解为
其中为任意常数.
当时,对矩阵作初等行变换,有
可知时,,故方程组也有非零解,其同解方程组为
,其中为任意常数.
16.设,,,,试讨论当为何值时,
(1)不能由线性表示;
(2)可由惟一地线性表示,并求出表示式;
(3)可由线性表示,但表示式不惟一,并求出表示式.
解设有数使得
记.对矩阵施以初等行变换,有
(1)当时,有
可知. 故方程组无解,不能由线性表示.
(2)当,且时,有
方程组有惟一解:
,.
此时可由惟一地线性表示,其表示式为
(3)当时,对矩阵施以初等行变换,有
,方程组有无穷多解,其全部解为
,,其中为任意常数.
可由线性表示,但表示式不惟一,其表示式为
17.设线性方程组
已知是该方程组的一个解,试求
(1)方程组的全部解,并用对应的齐次线性方程组的基础解系表示全部解;
(2)该方程组满足的全部解.
解将代入方程组,得.对方程组的增广矩阵施以初等行变换,得
(1) 当时,有
,故方程组有无穷多解,且为其一个特解,对应的齐次线性方程组的基础解系为,故方程组的全部解为
(为任意常数).
,故方程组有无穷多解,且为其一个特解,对应的齐次线性方程组的基础解系为,,故方程组的全部解为
(为任意常数).
(2)当时,由于,即
解得,故方程组的解为
.
当时,由于,即,解得
故方程组的全部解为
18.已知平面上三条不同直线的方程分别为
试证这三条直线交于一点的充分必要条件为.
解必要性.设三条直线交于一点,则线性方程组
有惟一解,故系数矩阵与增广矩阵的秩均为2,于是.由于
=,
但根据题设,故
充分性.由,则从必要性的证明可知,,故秩.由于
=,
故秩.于是,秩秩.因此方程组有惟一解,即三直线交于一点.
*19.求方程组
的最小二乘解.
解方程组的系数矩阵和常数项矩阵为
,,
记
则方程组的正规方程为
解之得
因此,方程组的最小二乘解为
*20.当外加电压(单位:
)分别为5,8,10,12时,测得电源中对应的电流(单位:
)分别为4,6,8,9,试根据公式确定电源内阻与电源的端电势.
解根据公式,把测得的数据代入方程,得
该方程组的系数矩阵和常数项矩阵为
即
。
B 组
1.设是阶方阵,是阶单位矩阵,证明
(1)若
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 第五 线性方程组 习题 解答
![提示](https://static.bdocx.com/images/bang_tan.gif)