上海市浦东新区届高三数学上学期期末教学质量检测试题Word下载.docx
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12.在平面直角坐标系中,为坐标原点,是双曲线上的两个动点,动点满足:
,直线与直线斜率之积为.已知平面内存在两定点,使得为定值,则该定值为____________.
二、选择题(本大题共有4题,满分20分)每小题都给出四个选项,其中有且只有一个选项是正确的,选对得5分,否则一律得零分.
13.若实数,则命题甲“”是命题乙“”的()条件.
A.充分非必要B.必要非充分
C.充要D.既非充分又非必要
14.已知中,,,点是边上的动点,点是边上的动点,则的最小值为()
A.B.C.D.
15.某食品的保鲜时间(单位:
小时)与储存温度(单位:
)满足函数关系(为自然对数的底数,为常数).若该食品在的保鲜时间是小时,在的保鲜时间是小时,则该食品在的保鲜时间是( )小时.
A.B.C.D.
16.关于的方程恰有3个实数根,则().
三、解答题(本大题共有5题,满分76分)解答下列各题必须写出必要的步骤.
17.(本题满14分,第1小题7分,第2小题7分)
如图,在长方体中,,,.
(1)求异面直线与所成的角;
(2)求三棱锥的体积.
18.(本题满14分,第1小题7分,第2小题7分)
在中,角所对的边分别为,已知:
,
,且.
(1)求;
(2)若,且,求的值.
19.(本题满14分,第1小题6分,第2小题8分)
已知等差数列的公差为2,其前项和.
(1)求的值及的通项公式;
(2)在等比数列中,,令,求数列
前项和.
20.(本题满16分,第1小题4分,第2小题6分,第3小题6分)
已知椭圆的左、右焦点分别为;
设点,在
中,,周长为.
(1)求椭圆方程;
(2)设不经过点的直线与椭圆相交于两点.若直线与的斜率之和为,求证:
直线过定点,并求出该定点的坐标;
(3)记第
(2)问所求的定点为,点为椭圆上一个动点,试根据面积的不同取值范围,讨论存在的个数,并说明理由.
21.(本题满18分,第1小题4分,第2小题6分,第3小题8分)
已知函数的定义域为,值域为,即.若,则称在D上封闭.
(1)试分别判断函数、在上是否封闭,并说明理由;
(2)函数的定义域为,且存在反函数.若函数在D上封闭,且函数在上也封闭,求实数的取值范围;
(3)已知函数的定义域是,对任意,若,有恒成立,则称在D上是单射.已知函数在D上封闭且单射,并且满足,其中
.证明:
存在D的真子集
,使得在所有上封闭.
参考答案
1.集合,,则________.【答案】
2.不等式的解集为_________.【答案】
3.已知函数的反函数是,则_________.【答案】
4.已知向量,则向量在向量上的投影为_________.【答案】
5.已知是虚数单位,复数满足,则__________.【答案】
6.在的二项展开式中,的系数是_________.【答案】
7.某企业生产的12个产品中有10个一等品,2个二等品,现从这批产品中抽取4个,其中恰好有1个二等品的概率为______________.【答案】
8.已知函数是定义在上的偶函数,且在上是增函数,若,则实数的取值范围是______________.【答案】
9.已知等比数列前项和为,则使得的的最小值为________.【答案】10
10.圆锥的底面圆半径,其侧面展开图是一个圆心角为的扇形,则此圆锥的表面积为_________.【答案】
11.已知函数,将向左平移个单位得,令,如果存在实数,使得对任意的实数,都有成立,则的最小值为_________.【答案】
12.在平面直角坐标系中,为坐标原点.是双曲线上的两个动点,动点满足:
,直线与直线斜率之积为.已知平面内存在两定点,使得为定值,则该定值大小为______.【答案】
13.若实数,命题甲“”是命题乙“”的(B)条件.
C.既充分又必要D.既非充分又非必要
14.已知中,,,点是边上的动点,点是边上的动点,则的最小值为(B)
)满足函数关系(为自然对数的底数,为常数),若该食品在的保鲜时间是小时,在的保鲜时间是小时,则该食品在的保鲜时间是( C)小时.
16.关于的方程恰有3个实数根,则(B).
17.(满分14分,第1小题7分,第2小题7分)
如图,在长方体中,
,,.
(1)求异面直线与所成的角;
解:
(1)是异面直线与所成的角或其补角.………2分
在等腰中,
易得……………………4分
即:
异面直线与所成的角……………………1分
(2)……………………4分
……………………3分
18.(满分14分,第1小问7分,第2小问7分)
,且;
(1)求角;
(1)由,∴,……………………2分
由正弦定理得:
,……2分
∴;
;
由,∴,……………………2分
……………………1分
(2)由,∴,∴,∴;
……………………4分
由知,,∴,……………2分
∴.……………………1分
19.(满分14分,第1小题6分,第2小题8分)
前项和。
(1)
,……………………3分
(2)∵,
∴,,……………………2分
当时,
当时,是偶数,
20.(满分16分,第1小题4分,第2小题6分,第3小题6分)
设点,在中,,周长为.
(2)设不经过点的直线与椭圆相交于两点。
若直线与的斜率之和为,求证:
(1)由得:
,所以………①
又周长为,所以………②
解①②方程组,得
所以椭圆方程为………………………4分
(2)设直线方程:
,交点
………………………1分
…………………………1分
………………………………………1分
依题:
…………………………1分
……………………………………………………………1分
过定点…………………………………………1分
(3),………………………1分
设直线与椭圆相切,
得两切线到的距离分别为
当时,个数为0个
当时,个数为1个
当时,个数为2个
当时,个数为3个
当时,个数为4个……………………3分
21.(满分18分,第1小题4分,第2小题6分,第3小题8分)
(1)试分别判断函数、函数在上是否封闭,并说明理由;
(2)函数的定义域为,且存在反函数.若函数在D上封闭,且函数在上也封闭,求的取值范围;
(3)已知函数的定义域是,对任意,若,有恒成立,则称在D上是单射.已知函数在D上封闭且单射,并且满足,其中
存在D的真子集,使得在所有上封闭.
(1)因为函数的定义域为,值域为,(取一个具体例子也可),所以在上不封闭.…………………………(结论和理由各1分)
在上封闭。
……………………(结论和理由各1分)
(2)函数在D上封闭,则.
函数在上封闭,则,
得到:
.…………………………………………(2分)
在单调递增.
则在两不等实根.…………(1分)
故,解得.…………(3分)
另解:
在两不等实根.
令
在有两个不等根,画图,由数形结合可知,
解得.
(3)如果,则,与题干矛盾.
因此。
取,则.…………………………(2分)
接下来证明。
因为是单射,因此取一个,则是唯一的使得的根,换句话说.……………………………………………………(2分)
考虑到,即,
因为是单射,则
这样就有了.………………………………………………(3分)
接着令,并重复上述论证证明.…………(1分)
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